Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28519 / 4470
↖ ↑ ↗
← N 78.371576°
E133.319092°		 ← 246.24 m → N 78.371576°
E133.330078°		 →
↑
246.24 m
↓
↑
246.24 m
↓
N 78.369361°
E133.319092°		 ← 246.28 m →
60 639 m²		 N 78.369361°
E133.330078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870346069335938 y=0.136428833007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870346069335938 × 215)
    floor (0.870346069335938 × 32768)
    floor (28519.5)     		tx = 28519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136428833007812 × 215)
    floor (0.136428833007812 × 32768)
    floor (4470.5)     		ty = 4470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28519 / 4470 ti = "15/28519/4470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28519/4470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28519 ÷ 215
    28519 ÷ 32768     		x = 0.870330810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4470 ÷ 215
    4470 ÷ 32768     		y = 0.13641357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870330810546875 × 2 - 1) × π
    0.74066162109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.32685711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13641357421875 × 2 - 1) × π
    0.7271728515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.2844808882934
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32685711} λ = 2.32685711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2844808882934))-π/2
    2×atan(9.82058691894205)-π/2
    2×1.46931918366779-π/2
    2.93863836733559-1.57079632675     		φ = 1.36784204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32685711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.319092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36784204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.371576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28519 KachelY 4470 2.32685711 1.36784204 133.319092 78.371576
    Oben rechts KachelX + 1 28520 KachelY 4470 2.32704886 1.36784204 133.330078 78.371576
    Unten links KachelX 28519 KachelY + 1 4471 2.32685711 1.36780339 133.319092 78.369361
    Unten rechts KachelX + 1 28520 KachelY + 1 4471 2.32704886 1.36780339 133.330078 78.369361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36784204-1.36780339) × R
    3.86500000000289e-05 × 6371000     		dl = 246.239150000184m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36784204-1.36780339) × R
    3.86500000000289e-05 × 6371000     		dr = 246.239150000184m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32685711-2.32704886) × cos(1.36784204) × R
    0.000191749999999935 × 0.20156385735885 × 6371000     		do = 246.238319530889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32685711-2.32704886) × cos(1.36780339) × R
    0.000191749999999935 × 0.201601713931557 × 6371000     		du = 246.284566605979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36784204)-sin(1.36780339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20156385735885-0.201601713931557)×R²
    abs(2.32704886-2.32685711)×3.78565727072178e-05×R²
    0.000191749999999935×3.78565727072178e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.78565727072178e-05×40589641000000     		ar = 60639.208426868m²