Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28519 / 21971
↖ ↑ ↗
← N 50.892639°
W 23.340454°		 ← 385.27 m → N 50.892639°
W 23.334961°		 →
↑
385.32 m
↓
↑
385.32 m
↓
N 50.889174°
W 23.340454°		 ← 385.30 m →
148 457 m²		 N 50.889174°
W 23.334961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435173034667969 y=0.335258483886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435173034667969 × 216)
    floor (0.435173034667969 × 65536)
    floor (28519.5)     		tx = 28519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335258483886719 × 216)
    floor (0.335258483886719 × 65536)
    floor (21971.5)     		ty = 21971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28519 / 21971 ti = "16/28519/21971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28519/21971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28519 ÷ 216
    28519 ÷ 65536     		x = 0.435165405273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21971 ÷ 216
    21971 ÷ 65536     		y = 0.335250854492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435165405273438 × 2 - 1) × π
    -0.129669189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40736777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335250854492188 × 2 - 1) × π
    0.329498291015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.03514941039549
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40736777} λ = -0.40736777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03514941039549))-π/2
    2×atan(2.81552687318311)-π/2
    2×1.22952022232171-π/2
    2.45904044464342-1.57079632675     		φ = 0.88824412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40736777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.340454°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88824412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.892639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28519 KachelY 21971 -0.40736777 0.88824412 -23.340454 50.892639
    Oben rechts KachelX + 1 28520 KachelY 21971 -0.40727190 0.88824412 -23.334961 50.892639
    Unten links KachelX 28519 KachelY + 1 21972 -0.40736777 0.88818364 -23.340454 50.889174
    Unten rechts KachelX + 1 28520 KachelY + 1 21972 -0.40727190 0.88818364 -23.334961 50.889174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88824412-0.88818364) × R
    6.04799999999184e-05 × 6371000     		dl = 385.31807999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88824412-0.88818364) × R
    6.04799999999184e-05 × 6371000     		dr = 385.31807999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40736777--0.40727190) × cos(0.88824412) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.630775500338174 × 6371000     		do = 385.269961222179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40736777--0.40727190) × cos(0.88818364) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.630822429570585 × 6371000     		du = 385.298625023391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88824412)-sin(0.88818364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630775500338174-0.630822429570585)×R²
    abs(-0.40727190--0.40736777)×4.69292324103421e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69292324103421e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69292324103421e-05×40589641000000     		ar = 148457.00412521m²