Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28515 / 14564
↖ ↑ ↗
← N 70.192550°
W 23.362427°		 ← 206.99 m → N 70.192550°
W 23.356933°		 →
↑
206.99 m
↓
↑
206.99 m
↓
N 70.190688°
W 23.362427°		 ← 207.01 m →
42 848 m²		 N 70.190688°
W 23.356933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435111999511719 y=0.222236633300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435111999511719 × 216)
    floor (0.435111999511719 × 65536)
    floor (28515.5)     		tx = 28515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222236633300781 × 216)
    floor (0.222236633300781 × 65536)
    floor (14564.5)     		ty = 14564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28515 / 14564 ti = "16/28515/14564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28515/14564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28515 ÷ 216
    28515 ÷ 65536     		x = 0.435104370117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14564 ÷ 216
    14564 ÷ 65536     		y = 0.22222900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435104370117188 × 2 - 1) × π
    -0.129791259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40775127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22222900390625 × 2 - 1) × π
    0.5555419921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.745286641367
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40775127} λ = -0.40775127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.745286641367))-π/2
    2×atan(5.72754299089944)-π/2
    2×1.39794371521591-π/2
    2.79588743043183-1.57079632675     		φ = 1.22509110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40775127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.362427°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22509110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.192550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28515 KachelY 14564 -0.40775127 1.22509110 -23.362427 70.192550
    Oben rechts KachelX + 1 28516 KachelY 14564 -0.40765539 1.22509110 -23.356933 70.192550
    Unten links KachelX 28515 KachelY + 1 14565 -0.40775127 1.22505861 -23.362427 70.190688
    Unten rechts KachelX + 1 28516 KachelY + 1 14565 -0.40765539 1.22505861 -23.356933 70.190688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22509110-1.22505861) × R
    3.24899999999406e-05 × 6371000     		dl = 206.993789999622m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22509110-1.22505861) × R
    3.24899999999406e-05 × 6371000     		dr = 206.993789999622m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40775127--0.40765539) × cos(1.22509110) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.338860264717795 × 6371000     		do = 206.993294216041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40775127--0.40765539) × cos(1.22505861) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.338890832323753 × 6371000     		du = 207.01196648338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22509110)-sin(1.22505861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338860264717795-0.338890832323753)×R²
    abs(-0.40765539--0.40775127)×3.05676059574878e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.05676059574878e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.05676059574878e-05×40589641000000     		ar = 42848.2589995456m²