Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28514 / 4474
↖ ↑ ↗
← N 78.362715°
E133.264160°		 ← 246.42 m → N 78.362715°
E133.275147°		 →
↑
246.43 m
↓
↑
246.43 m
↓
N 78.360498°
E133.264160°		 ← 246.47 m →
60 732 m²		 N 78.360498°
E133.275147°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870193481445312 y=0.136550903320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870193481445312 × 215)
    floor (0.870193481445312 × 32768)
    floor (28514.5)     		tx = 28514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136550903320312 × 215)
    floor (0.136550903320312 × 32768)
    floor (4474.5)     		ty = 4474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28514 / 4474 ti = "15/28514/4474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28514/4474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28514 ÷ 215
    28514 ÷ 32768     		x = 0.87017822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4474 ÷ 215
    4474 ÷ 32768     		y = 0.13653564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87017822265625 × 2 - 1) × π
    0.7403564453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.32589837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13653564453125 × 2 - 1) × π
    0.7269287109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.28371389789948
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32589837} λ = 2.32589837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28371389789948))-π/2
    2×atan(9.81305751097347)-π/2
    2×1.46924185585457-π/2
    2.93848371170915-1.57079632675     		φ = 1.36768738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32589837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.264160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36768738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.362715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28514 KachelY 4474 2.32589837 1.36768738 133.264160 78.362715
    Oben rechts KachelX + 1 28515 KachelY 4474 2.32609012 1.36768738 133.275147 78.362715
    Unten links KachelX 28514 KachelY + 1 4475 2.32589837 1.36764870 133.264160 78.360498
    Unten rechts KachelX + 1 28515 KachelY + 1 4475 2.32609012 1.36764870 133.275147 78.360498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36768738-1.36764870) × R
    3.86800000000687e-05 × 6371000     		dl = 246.430280000437m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36768738-1.36764870) × R
    3.86800000000687e-05 × 6371000     		dr = 246.430280000437m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32589837-2.32609012) × cos(1.36768738) × R
    0.000191749999999935 × 0.201715340609161 × 6371000     		do = 246.423377415187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32589837-2.32609012) × cos(1.36764870) × R
    0.000191749999999935 × 0.201753225359524 × 6371000     		du = 246.469658913207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36768738)-sin(1.36764870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201715340609161-0.201753225359524)×R²
    abs(2.32609012-2.32589837)×3.78847503631208e-05×R²
    0.000191749999999935×3.78847503631208e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.78847503631208e-05×40589641000000     		ar = 60731.8844839477m²