Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 28514 / 4446
↖ ↑ ↗
← N 78.424603°
E133.264160°		 ← 245.13 m → N 78.424603°
E133.275147°		 →
↑
245.16 m
↓
↑
245.16 m
↓
N 78.422398°
E133.264160°		 ← 245.18 m →
60 101 m²		 N 78.422398°
E133.275147°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870193481445312 y=0.135696411132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870193481445312 × 215)
    floor (0.870193481445312 × 32768)
    floor (28514.5)     		tx = 28514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135696411132812 × 215)
    floor (0.135696411132812 × 32768)
    floor (4446.5)     		ty = 4446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28514 / 4446 ti = "15/28514/4446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28514/4446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28514 ÷ 215
    28514 ÷ 32768     		x = 0.87017822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4446 ÷ 215
    4446 ÷ 32768     		y = 0.13568115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87017822265625 × 2 - 1) × π
    0.7403564453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.32589837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13568115234375 × 2 - 1) × π
    0.7286376953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.28908283065692
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32589837} λ = 2.32589837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28908283065692))-π/2
    2×atan(9.86588484319454)-π/2
    2×1.46978193252612-π/2
    2.93956386505224-1.57079632675     		φ = 1.36876754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32589837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.264160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36876754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.424603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28514 KachelY 4446 2.32589837 1.36876754 133.264160 78.424603
    Oben rechts KachelX + 1 28515 KachelY 4446 2.32609012 1.36876754 133.275147 78.424603
    Unten links KachelX 28514 KachelY + 1 4447 2.32589837 1.36872906 133.264160 78.422398
    Unten rechts KachelX + 1 28515 KachelY + 1 4447 2.32609012 1.36872906 133.275147 78.422398
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36876754-1.36872906) × R
    3.84799999999519e-05 × 6371000     		dl = 245.156079999693m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36876754-1.36872906) × R
    3.84799999999519e-05 × 6371000     		dr = 245.156079999693m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32589837-2.32609012) × cos(1.36876754) × R
    0.000191749999999935 × 0.200657266703363 × 6371000     		do = 245.130792802464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32589837-2.32609012) × cos(1.36872906) × R
    0.000191749999999935 × 0.200694963929449 × 6371000     		du = 245.176845213466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36876754)-sin(1.36872906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200657266703363-0.200694963929449)×R²
    abs(2.32609012-2.32589837)×3.76972260852926e-05×R²
    0.000191749999999935×3.76972260852926e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.76972260852926e-05×40589641000000     		ar = 60100.9492725569m²