Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28513 / 4448
↖ ↑ ↗
← N 78.420193°
E133.253174°		 ← 245.22 m → N 78.420193°
E133.264160°		 →
↑
245.22 m
↓
↑
245.22 m
↓
N 78.417988°
E133.253174°		 ← 245.27 m →
60 139 m²		 N 78.417988°
E133.264160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870162963867188 y=0.135757446289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870162963867188 × 215)
    floor (0.870162963867188 × 32768)
    floor (28513.5)     		tx = 28513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135757446289062 × 215)
    floor (0.135757446289062 × 32768)
    floor (4448.5)     		ty = 4448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28513 / 4448 ti = "15/28513/4448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28513/4448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28513 ÷ 215
    28513 ÷ 32768     		x = 0.870147705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4448 ÷ 215
    4448 ÷ 32768     		y = 0.1357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870147705078125 × 2 - 1) × π
    0.74029541015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.32570662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1357421875 × 2 - 1) × π
    0.728515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.28869933545996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32570662} λ = 2.32570662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28869933545996))-π/2
    2×atan(9.86210204913144)-π/2
    2×1.46974344974837-π/2
    2.93948689949675-1.57079632675     		φ = 1.36869057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32570662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.253174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36869057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.420193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28513 KachelY 4448 2.32570662 1.36869057 133.253174 78.420193
    Oben rechts KachelX + 1 28514 KachelY 4448 2.32589837 1.36869057 133.264160 78.420193
    Unten links KachelX 28513 KachelY + 1 4449 2.32570662 1.36865208 133.253174 78.417988
    Unten rechts KachelX + 1 28514 KachelY + 1 4449 2.32589837 1.36865208 133.264160 78.417988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36869057-1.36865208) × R
    3.84900000001132e-05 × 6371000     		dl = 245.219790000721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36869057-1.36865208) × R
    3.84900000001132e-05 × 6371000     		dr = 245.219790000721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32570662-2.32589837) × cos(1.36869057) × R
    0.000191749999999935 × 0.200732670654823 × 6371000     		do = 245.222909229172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32570662-2.32589837) × cos(1.36865208) × R
    0.000191749999999935 × 0.200770377082817 × 6371000     		du = 245.268972881587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36869057)-sin(1.36865208))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200732670654823-0.200770377082817)×R²
    abs(2.32589837-2.32570662)×3.77064279934447e-05×R²
    0.000191749999999935×3.77064279934447e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.77064279934447e-05×40589641000000     		ar = 60139.1581716055m²