Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28511 / 4450
↖ ↑ ↗
← N 78.415782°
E133.231201°		 ← 245.30 m → N 78.415782°
E133.242187°		 →
↑
245.35 m
↓
↑
245.35 m
↓
N 78.413575°
E133.231201°		 ← 245.35 m →
60 190 m²		 N 78.413575°
E133.242187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870101928710938 y=0.135818481445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870101928710938 × 215)
    floor (0.870101928710938 × 32768)
    floor (28511.5)     		tx = 28511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135818481445312 × 215)
    floor (0.135818481445312 × 32768)
    floor (4450.5)     		ty = 4450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28511 / 4450 ti = "15/28511/4450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28511/4450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28511 ÷ 215
    28511 ÷ 32768     		x = 0.870086669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4450 ÷ 215
    4450 ÷ 32768     		y = 0.13580322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870086669921875 × 2 - 1) × π
    0.74017333984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.32532313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13580322265625 × 2 - 1) × π
    0.7283935546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.288315840263
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32532313} λ = 2.32532313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.288315840263))-π/2
    2×atan(9.85832070547357)-π/2
    2×1.46970495251033-π/2
    2.93940990502067-1.57079632675     		φ = 1.36861358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32532313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.231201°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36861358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.415782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28511 KachelY 4450 2.32532313 1.36861358 133.231201 78.415782
    Oben rechts KachelX + 1 28512 KachelY 4450 2.32551487 1.36861358 133.242187 78.415782
    Unten links KachelX 28511 KachelY + 1 4451 2.32532313 1.36857507 133.231201 78.413575
    Unten rechts KachelX + 1 28512 KachelY + 1 4451 2.32551487 1.36857507 133.242187 78.413575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36861358-1.36857507) × R
    3.85100000002137e-05 × 6371000     		dl = 245.347210001361m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36861358-1.36857507) × R
    3.85100000002137e-05 × 6371000     		dr = 245.347210001361m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32532313-2.32551487) × cos(1.36861358) × R
    0.000191739999999996 × 0.200808093009679 × 6371000     		do = 245.302254654663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32532313-2.32551487) × cos(1.36857507) × R
    0.000191739999999996 × 0.200845818435122 × 6371000     		du = 245.348339111621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36861358)-sin(1.36857507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200808093009679-0.200845818435122)×R²
    abs(2.32551487-2.32532313)×3.77254254431136e-05×R²
    0.000191739999999996×3.77254254431136e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.77254254431136e-05×40589641000000     		ar = 60189.8771406711m²