Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2851 / 5924
↖ ↑ ↗
← S 62.349609°
W 54.711914°		 ← 2 267.70 m → S 62.349609°
W 54.667969°		 →
↑
2 266.93 m
↓
↑
2 266.93 m
↓
S 62.369996°
W 54.711914°		 ← 2 266.16 m →
5 138 971 m²		 S 62.369996°
W 54.667969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.34808349609375 y=0.72320556640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.34808349609375 × 213)
    floor (0.34808349609375 × 8192)
    floor (2851.5)     		tx = 2851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72320556640625 × 213)
    floor (0.72320556640625 × 8192)
    floor (5924.5)     		ty = 5924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2851 / 5924 ti = "13/2851/5924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2851/5924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2851 ÷ 213
    2851 ÷ 8192     		x = 0.3480224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5924 ÷ 213
    5924 ÷ 8192     		y = 0.72314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3480224609375 × 2 - 1) × π
    -0.303955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.95490304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72314453125 × 2 - 1) × π
    -0.4462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.4020584400874
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95490304} λ = -0.95490304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4020584400874))-π/2
    2×atan(0.246089880944632)-π/2
    2×0.24129517881-π/2
    0.482590357620001-1.57079632675     		φ = -1.08820597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95490304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.711914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08820597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.349609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2851 KachelY 5924 -0.95490304 -1.08820597 -54.711914 -62.349609
    Oben rechts KachelX + 1 2852 KachelY 5924 -0.95413605 -1.08820597 -54.667969 -62.349609
    Unten links KachelX 2851 KachelY + 1 5925 -0.95490304 -1.08856179 -54.711914 -62.369996
    Unten rechts KachelX + 1 2852 KachelY + 1 5925 -0.95413605 -1.08856179 -54.667969 -62.369996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08820597--1.08856179) × R
    0.000355820000000007 × 6371000     		dl = 2266.92922000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08820597--1.08856179) × R
    0.000355820000000007 × 6371000     		dr = 2266.92922000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95490304--0.95413605) × cos(-1.08820597) × R
    0.000766990000000023 × 0.464075257040907 × 6371000     		do = 2267.70062958549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95490304--0.95413605) × cos(-1.08856179) × R
    0.000766990000000023 × 0.463760043816948 × 6371000     		du = 2266.16034228169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08820597)-sin(-1.08856179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464075257040907-0.463760043816948)×R²
    abs(-0.95413605--0.95490304)×0.000315213223959443×R²
    0.000766990000000023×0.000315213223959443×6371000²
    0.000766990000000023×0.000315213223959443×40589641000000     		ar = 5138971.01249071m²