Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28508 / 4508
↖ ↑ ↗
← N 78.287126°
E133.198242°		 ← 248 m → N 78.287126°
E133.209228°		 →
↑
248.02 m
↓
↑
248.02 m
↓
N 78.284895°
E133.198242°		 ← 248.05 m →
61 516 m²		 N 78.284895°
E133.209228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870010375976562 y=0.137588500976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870010375976562 × 215)
    floor (0.870010375976562 × 32768)
    floor (28508.5)     		tx = 28508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137588500976562 × 215)
    floor (0.137588500976562 × 32768)
    floor (4508.5)     		ty = 4508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28508 / 4508 ti = "15/28508/4508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28508/4508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28508 ÷ 215
    28508 ÷ 32768     		x = 0.8699951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4508 ÷ 215
    4508 ÷ 32768     		y = 0.1375732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8699951171875 × 2 - 1) × π
    0.739990234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.32474788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1375732421875 × 2 - 1) × π
    0.724853515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.27719447955115
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32474788} λ = 2.32474788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27719447955115))-π/2
    2×atan(9.74929017261853)-π/2
    2×1.46858221893072-π/2
    2.93716443786144-1.57079632675     		φ = 1.36636811
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32474788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.198242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36636811 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.287126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28508 KachelY 4508 2.32474788 1.36636811 133.198242 78.287126
    Oben rechts KachelX + 1 28509 KachelY 4508 2.32493963 1.36636811 133.209228 78.287126
    Unten links KachelX 28508 KachelY + 1 4509 2.32474788 1.36632918 133.198242 78.284895
    Unten rechts KachelX + 1 28509 KachelY + 1 4509 2.32493963 1.36632918 133.209228 78.284895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36636811-1.36632918) × R
    3.89300000001036e-05 × 6371000     		dl = 248.02303000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36636811-1.36632918) × R
    3.89300000001036e-05 × 6371000     		dr = 248.02303000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32474788-2.32493963) × cos(1.36636811) × R
    0.000191749999999935 × 0.203007316030842 × 6371000     		do = 248.001705300347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32474788-2.32493963) × cos(1.36632918) × R
    0.000191749999999935 × 0.203045435246203 × 6371000     		du = 248.048273230011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36636811)-sin(1.36632918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203007316030842-0.203045435246203)×R²
    abs(2.32493963-2.32474788)×3.81192153609822e-05×R²
    0.000191749999999935×3.81192153609822e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.81192153609822e-05×40589641000000     		ar = 61515.9093609883m²