Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28505 / 21977
↖ ↑ ↗
← N 50.871845°
W 23.417359°		 ← 385.48 m → N 50.871845°
W 23.411865°		 →
↑
385.51 m
↓
↑
385.51 m
↓
N 50.868378°
W 23.417359°		 ← 385.51 m →
148 612 m²		 N 50.868378°
W 23.411865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434959411621094 y=0.335350036621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434959411621094 × 216)
    floor (0.434959411621094 × 65536)
    floor (28505.5)     		tx = 28505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335350036621094 × 216)
    floor (0.335350036621094 × 65536)
    floor (21977.5)     		ty = 21977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28505 / 21977 ti = "16/28505/21977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28505/21977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28505 ÷ 216
    28505 ÷ 65536     		x = 0.434951782226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21977 ÷ 216
    21977 ÷ 65536     		y = 0.335342407226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434951782226562 × 2 - 1) × π
    -0.130096435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40871001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335342407226562 × 2 - 1) × π
    0.329315185546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.03457416760005
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40871001} λ = -0.40871001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03457416760005))-π/2
    2×atan(2.81390772737957)-π/2
    2×1.22933875729704-π/2
    2.45867751459407-1.57079632675     		φ = 0.88788119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40871001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.417359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88788119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.871845°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28505 KachelY 21977 -0.40871001 0.88788119 -23.417359 50.871845
    Oben rechts KachelX + 1 28506 KachelY 21977 -0.40861413 0.88788119 -23.411865 50.871845
    Unten links KachelX 28505 KachelY + 1 21978 -0.40871001 0.88782068 -23.417359 50.868378
    Unten rechts KachelX + 1 28506 KachelY + 1 21978 -0.40861413 0.88782068 -23.411865 50.868378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88788119-0.88782068) × R
    6.05099999999581e-05 × 6371000     		dl = 385.509209999733m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88788119-0.88782068) × R
    6.05099999999581e-05 × 6371000     		dr = 385.509209999733m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40871001--0.40861413) × cos(0.88788119) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.631057079904402 × 6371000     		do = 385.482151224053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40871001--0.40861413) × cos(0.88782068) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.631104018558628 × 6371000     		du = 385.510823770455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88788119)-sin(0.88782068))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631057079904402-0.631104018558628)×R²
    abs(-0.40861413--0.40871001)×4.69386542252259e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.69386542252259e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.69386542252259e-05×40589641000000     		ar = 148612.44639818m²