Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28504 / 42680
↖ ↑ ↗
← S 47.724545°
W 23.422852°		 ← 410.87 m → S 47.724545°
W 23.417359°		 →
↑
410.87 m
↓
↑
410.87 m
↓
S 47.728240°
W 23.422852°		 ← 410.85 m →
168 808 m²		 S 47.728240°
W 23.417359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434944152832031 y=0.651252746582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434944152832031 × 216)
    floor (0.434944152832031 × 65536)
    floor (28504.5)     		tx = 28504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651252746582031 × 216)
    floor (0.651252746582031 × 65536)
    floor (42680.5)     		ty = 42680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28504 / 42680 ti = "16/28504/42680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28504/42680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28504 ÷ 216
    28504 ÷ 65536     		x = 0.4349365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42680 ÷ 216
    42680 ÷ 65536     		y = 0.6512451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4349365234375 × 2 - 1) × π
    -0.130126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40880588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6512451171875 × 2 - 1) × π
    -0.302490234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.950301098067993
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40880588} λ = -0.40880588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.950301098067993))-π/2
    2×atan(0.386624594008746)-π/2
    2×0.368922945208333-π/2
    0.737845890416666-1.57079632675     		φ = -0.83295044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40880588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.422852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83295044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.724545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28504 KachelY 42680 -0.40880588 -0.83295044 -23.422852 -47.724545
    Oben rechts KachelX + 1 28505 KachelY 42680 -0.40871001 -0.83295044 -23.417359 -47.724545
    Unten links KachelX 28504 KachelY + 1 42681 -0.40880588 -0.83301493 -23.422852 -47.728240
    Unten rechts KachelX + 1 28505 KachelY + 1 42681 -0.40871001 -0.83301493 -23.417359 -47.728240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83295044--0.83301493) × R
    6.44900000000836e-05 × 6371000     		dl = 410.865790000533m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83295044--0.83301493) × R
    6.44900000000836e-05 × 6371000     		dr = 410.865790000533m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40880588--0.40871001) × cos(-0.83295044) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.672695603568435 × 6371000     		do = 410.87424759236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40880588--0.40871001) × cos(-0.83301493) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.672647884771582 × 6371000     		du = 410.845101534843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83295044)-sin(-0.83301493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672695603568435-0.672647884771582)×R²
    abs(-0.40871001--0.40880588)×4.77187968529469e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77187968529469e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77187968529469e-05×40589641000000     		ar = 168808.184827663m²