Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28504 / 21993
↖ ↑ ↗
← N 50.816348°
W 23.422852°		 ← 385.90 m → N 50.816348°
W 23.417359°		 →
↑
385.89 m
↓
↑
385.89 m
↓
N 50.812877°
W 23.422852°		 ← 385.93 m →
148 921 m²		 N 50.812877°
W 23.417359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434944152832031 y=0.335594177246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434944152832031 × 216)
    floor (0.434944152832031 × 65536)
    floor (28504.5)     		tx = 28504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335594177246094 × 216)
    floor (0.335594177246094 × 65536)
    floor (21993.5)     		ty = 21993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28504 / 21993 ti = "16/28504/21993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28504/21993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28504 ÷ 216
    28504 ÷ 65536     		x = 0.4349365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21993 ÷ 216
    21993 ÷ 65536     		y = 0.335586547851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4349365234375 × 2 - 1) × π
    -0.130126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40880588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335586547851562 × 2 - 1) × π
    0.328826904296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.03304018681221
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40880588} λ = -0.40880588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03304018681221))-π/2
    2×atan(2.80959455599381)-π/2
    2×1.22885445455864-π/2
    2.45770890911729-1.57079632675     		φ = 0.88691258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40880588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.422852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88691258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.816348°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28504 KachelY 21993 -0.40880588 0.88691258 -23.422852 50.816348
    Oben rechts KachelX + 1 28505 KachelY 21993 -0.40871001 0.88691258 -23.417359 50.816348
    Unten links KachelX 28504 KachelY + 1 21994 -0.40880588 0.88685201 -23.422852 50.812877
    Unten rechts KachelX + 1 28505 KachelY + 1 21994 -0.40871001 0.88685201 -23.417359 50.812877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88691258-0.88685201) × R
    6.05699999999265e-05 × 6371000     		dl = 385.891469999532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88691258-0.88685201) × R
    6.05699999999265e-05 × 6371000     		dr = 385.891469999532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40880588--0.40871001) × cos(0.88691258) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.63180816979054 × 6371000     		do = 385.900703094137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40880588--0.40871001) × cos(0.88685201) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.63185511793994 × 6371000     		du = 385.929378449614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88691258)-sin(0.88685201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63180816979054-0.63185511793994)×R²
    abs(-0.40871001--0.40880588)×4.69481494000945e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69481494000945e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69481494000945e-05×40589641000000     		ar = 148921.322423767m²