Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28503 / 4394
↖ ↑ ↗
← N 78.538679°
E133.143311°		 ← 242.73 m → N 78.538679°
E133.154297°		 →
↑
242.80 m
↓
↑
242.80 m
↓
N 78.536495°
E133.143311°		 ← 242.78 m →
58 941 m²		 N 78.536495°
E133.154297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.869857788085938 y=0.134109497070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.869857788085938 × 215)
    floor (0.869857788085938 × 32768)
    floor (28503.5)     		tx = 28503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134109497070312 × 215)
    floor (0.134109497070312 × 32768)
    floor (4394.5)     		ty = 4394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28503 / 4394 ti = "15/28503/4394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28503/4394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28503 ÷ 215
    28503 ÷ 32768     		x = 0.869842529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4394 ÷ 215
    4394 ÷ 32768     		y = 0.13409423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.869842529296875 × 2 - 1) × π
    0.73968505859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.32378915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13409423828125 × 2 - 1) × π
    0.7318115234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.29905370577789
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32378915} λ = 2.32378915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29905370577789))-π/2
    2×atan(9.96474840798349)-π/2
    2×1.4707774261987-π/2
    2.94155485239741-1.57079632675     		φ = 1.37075853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32378915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.143311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37075853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.538679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28503 KachelY 4394 2.32378915 1.37075853 133.143311 78.538679
    Oben rechts KachelX + 1 28504 KachelY 4394 2.32398089 1.37075853 133.154297 78.538679
    Unten links KachelX 28503 KachelY + 1 4395 2.32378915 1.37072042 133.143311 78.536495
    Unten rechts KachelX + 1 28504 KachelY + 1 4395 2.32398089 1.37072042 133.154297 78.536495
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37075853-1.37072042) × R
    3.81099999999801e-05 × 6371000     		dl = 242.798809999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37075853-1.37072042) × R
    3.81099999999801e-05 × 6371000     		dr = 242.798809999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32378915-2.32398089) × cos(1.37075853) × R
    0.000191739999999996 × 0.198706374028571 × 6371000     		do = 242.734846155388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32378915-2.32398089) × cos(1.37072042) × R
    0.000191739999999996 × 0.198743723935348 × 6371000     		du = 242.780471887929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37075853)-sin(1.37072042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198706374028571-0.198743723935348)×R²
    abs(2.32398089-2.32378915)×3.73499067775895e-05×R²
    0.000191739999999996×3.73499067775895e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.73499067775895e-05×40589641000000     		ar = 58941.2707359215m²