Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28503 / 21996
↖ ↑ ↗
← N 50.805935°
W 23.428345°		 ← 385.99 m → N 50.805935°
W 23.422852°		 →
↑
386.02 m
↓
↑
386.02 m
↓
N 50.802463°
W 23.428345°		 ← 386.02 m →
149 004 m²		 N 50.802463°
W 23.422852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434928894042969 y=0.335639953613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434928894042969 × 216)
    floor (0.434928894042969 × 65536)
    floor (28503.5)     		tx = 28503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335639953613281 × 216)
    floor (0.335639953613281 × 65536)
    floor (21996.5)     		ty = 21996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28503 / 21996 ti = "16/28503/21996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28503/21996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28503 ÷ 216
    28503 ÷ 65536     		x = 0.434921264648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21996 ÷ 216
    21996 ÷ 65536     		y = 0.33563232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434921264648438 × 2 - 1) × π
    -0.130157470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40890175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33563232421875 × 2 - 1) × π
    0.3287353515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.03275256541449
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40890175} λ = -0.40890175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03275256541449))-π/2
    2×atan(2.8087865726828)-π/2
    2×1.22876358365584-π/2
    2.45752716731169-1.57079632675     		φ = 0.88673084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40890175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.428345°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88673084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.805935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28503 KachelY 21996 -0.40890175 0.88673084 -23.428345 50.805935
    Oben rechts KachelX + 1 28504 KachelY 21996 -0.40880588 0.88673084 -23.422852 50.805935
    Unten links KachelX 28503 KachelY + 1 21997 -0.40890175 0.88667025 -23.428345 50.802463
    Unten rechts KachelX + 1 28504 KachelY + 1 21997 -0.40880588 0.88667025 -23.422852 50.802463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88673084-0.88667025) × R
    6.0590000000027e-05 × 6371000     		dl = 386.018890000172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88673084-0.88667025) × R
    6.0590000000027e-05 × 6371000     		dr = 386.018890000172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40890175--0.40880588) × cos(0.88673084) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.631949030534559 × 6371000     		do = 385.986739113857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40890175--0.40880588) × cos(0.88667025) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.63199598722742 × 6371000     		du = 386.015419687576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88673084)-sin(0.88667025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631949030534559-0.63199598722742)×R²
    abs(-0.40880588--0.40890175)×4.69566928605891e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69566928605891e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69566928605891e-05×40589641000000     		ar = 149003.708254829m²