Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28501 / 4463
↖ ↑ ↗
← N 78.387067°
E133.121338°		 ← 245.91 m → N 78.387067°
E133.132324°		 →
↑
245.92 m
↓
↑
245.92 m
↓
N 78.384855°
E133.121338°		 ← 245.96 m →
60 481 m²		 N 78.384855°
E133.132324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.869796752929688 y=0.136215209960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.869796752929688 × 215)
    floor (0.869796752929688 × 32768)
    floor (28501.5)     		tx = 28501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136215209960938 × 215)
    floor (0.136215209960938 × 32768)
    floor (4463.5)     		ty = 4463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28501 / 4463 ti = "15/28501/4463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28501/4463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28501 ÷ 215
    28501 ÷ 32768     		x = 0.869781494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4463 ÷ 215
    4463 ÷ 32768     		y = 0.136199951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.869781494140625 × 2 - 1) × π
    0.73956298828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.32340565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136199951171875 × 2 - 1) × π
    0.72760009765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.28582312148276
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32340565} λ = 2.32340565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28582312148276))-π/2
    2×atan(9.83377728693822)-π/2
    2×1.46945436763376-π/2
    2.93890873526751-1.57079632675     		φ = 1.36811241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32340565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.121338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36811241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.387067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28501 KachelY 4463 2.32340565 1.36811241 133.121338 78.387067
    Oben rechts KachelX + 1 28502 KachelY 4463 2.32359740 1.36811241 133.132324 78.387067
    Unten links KachelX 28501 KachelY + 1 4464 2.32340565 1.36807381 133.121338 78.384855
    Unten rechts KachelX + 1 28502 KachelY + 1 4464 2.32359740 1.36807381 133.132324 78.384855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36811241-1.36807381) × R
    3.85999999998887e-05 × 6371000     		dl = 245.920599999291m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36811241-1.36807381) × R
    3.85999999998887e-05 × 6371000     		dr = 245.920599999291m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32340565-2.32359740) × cos(1.36811241) × R
    0.000191749999999935 × 0.201299029237623 × 6371000     		do = 245.914795103494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32340565-2.32359740) × cos(1.36807381) × R
    0.000191749999999935 × 0.201336838939343 × 6371000     		du = 245.960984919147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36811241)-sin(1.36807381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201299029237623-0.201336838939343)×R²
    abs(2.32359740-2.32340565)×3.7809701720265e-05×R²
    0.000191749999999935×3.7809701720265e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.7809701720265e-05×40589641000000     		ar = 60481.1934809988m²