Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28501 / 4399
↖ ↑ ↗
← N 78.527758°
E133.121338°		 ← 242.98 m → N 78.527758°
E133.132324°		 →
↑
242.99 m
↓
↑
242.99 m
↓
N 78.525573°
E133.121338°		 ← 243.02 m →
59 046 m²		 N 78.525573°
E133.132324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.869796752929688 y=0.134262084960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.869796752929688 × 215)
    floor (0.869796752929688 × 32768)
    floor (28501.5)     		tx = 28501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134262084960938 × 215)
    floor (0.134262084960938 × 32768)
    floor (4399.5)     		ty = 4399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28501 / 4399 ti = "15/28501/4399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28501/4399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28501 ÷ 215
    28501 ÷ 32768     		x = 0.869781494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4399 ÷ 215
    4399 ÷ 32768     		y = 0.134246826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.869781494140625 × 2 - 1) × π
    0.73956298828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.32340565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134246826171875 × 2 - 1) × π
    0.73150634765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.29809496778549
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32340565} λ = 2.32340565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29809496778549))-π/2
    2×atan(9.95519940332825)-π/2
    2×1.47068212775702-π/2
    2.94136425551403-1.57079632675     		φ = 1.37056793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32340565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.121338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37056793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.527758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28501 KachelY 4399 2.32340565 1.37056793 133.121338 78.527758
    Oben rechts KachelX + 1 28502 KachelY 4399 2.32359740 1.37056793 133.132324 78.527758
    Unten links KachelX 28501 KachelY + 1 4400 2.32340565 1.37052979 133.121338 78.525573
    Unten rechts KachelX + 1 28502 KachelY + 1 4400 2.32359740 1.37052979 133.132324 78.525573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37056793-1.37052979) × R
    3.81400000000198e-05 × 6371000     		dl = 242.989940000126m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37056793-1.37052979) × R
    3.81400000000198e-05 × 6371000     		dr = 242.989940000126m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32340565-2.32359740) × cos(1.37056793) × R
    0.000191749999999935 × 0.198893169676477 × 6371000     		do = 242.975702633612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32340565-2.32359740) × cos(1.37052979) × R
    0.000191749999999935 × 0.198930547539492 × 6371000     		du = 243.021364898152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37056793)-sin(1.37052979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198893169676477-0.198930547539492)×R²
    abs(2.32359740-2.32340565)×3.73778630147203e-05×R²
    0.000191749999999935×3.73778630147203e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.73778630147203e-05×40589641000000     		ar = 59046.1991471705m²