Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 285 / 299
S 28.921631°
E 20.390625°
← 68.433 km → S 28.921631°
E 21.093750°

68.229 km

68.229 km
S 29.535229°
E 20.390625°
← 68.024 km →
4 655.21 km²
S 29.535229°
E 21.093750°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5576171875 y=0.5849609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5576171875 × 29)
    floor (0.5576171875 × 512)
    floor (285.5)
    tx = 285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5849609375 × 29)
    floor (0.5849609375 × 512)
    floor (299.5)
    ty = 299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 285 / 299 ti = "9/285/299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/285/299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 285 ÷ 29
    285 ÷ 512
    x = 0.556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 299 ÷ 29
    299 ÷ 512
    y = 0.583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.556640625 × 2 - 1) × π
    0.11328125 × 3.1415926535
    Λ = 0.35588354
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.583984375 × 2 - 1) × π
    -0.16796875 × 3.1415926535
    Φ = -0.527689391017578
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35588354} λ = 0.35588354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.527689391017578))-π/2
    2×atan(0.589966578074895)-π/2
    2×0.533009317941028-π/2
    1.06601863588206-1.57079632675
    φ = -0.50477769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35588354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.390625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50477769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.921631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 285 KachelY 299 0.35588354 -0.50477769 20.390625 -28.921631
    Oben rechts KachelX + 1 286 KachelY 299 0.36815539 -0.50477769 21.093750 -28.921631
    Unten links KachelX 285 KachelY + 1 300 0.35588354 -0.51548700 20.390625 -29.535229
    Unten rechts KachelX + 1 286 KachelY + 1 300 0.36815539 -0.51548700 21.093750 -29.535229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-0.50477769--0.51548700) × R
    0.0107093100000001 × 6371000
    dl = 68229.0140100005m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-0.50477769--0.51548700) × R
    0.0107093100000001 × 6371000
    dr = 68229.0140100005m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.35588354-0.36815539) × cos(-0.50477769) × R
    0.01227185 × 0.875282008031053 × 6371000
    do = 68433.0103098403m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.35588354-0.36815539) × cos(-0.51548700) × R
    0.01227185 × 0.870052754632841 × 6371000
    du = 68024.1665904115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-0.50477769)-sin(-0.51548700))×
    abs(λ12)×abs(0.875282008031053-0.870052754632841)×
    abs(0.36815539-0.35588354)×0.00522925339821201×
    0.01227185×0.00522925339821201×6371000²
    0.01227185×0.00522925339821201×40589641000000
    ar = 4655213809.2737m²