Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28499 / 22009
↖ ↑ ↗
← N 50.760784°
W 23.450317°		 ← 386.36 m → N 50.760784°
W 23.444824°		 →
↑
386.34 m
↓
↑
386.34 m
↓
N 50.757310°
W 23.450317°		 ← 386.39 m →
149 271 m²		 N 50.757310°
W 23.444824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434867858886719 y=0.335838317871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434867858886719 × 216)
    floor (0.434867858886719 × 65536)
    floor (28499.5)     		tx = 28499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335838317871094 × 216)
    floor (0.335838317871094 × 65536)
    floor (22009.5)     		ty = 22009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28499 / 22009 ti = "16/28499/22009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28499/22009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28499 ÷ 216
    28499 ÷ 65536     		x = 0.434860229492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22009 ÷ 216
    22009 ÷ 65536     		y = 0.335830688476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434860229492188 × 2 - 1) × π
    -0.130279541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40928525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335830688476562 × 2 - 1) × π
    0.328338623046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.03150620602437
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40928525} λ = -0.40928525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03150620602437))-π/2
    2×atan(2.80528799585802)-π/2
    2×1.2283695756291-π/2
    2.45673915125819-1.57079632675     		φ = 0.88594282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40928525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.450317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88594282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.760784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28499 KachelY 22009 -0.40928525 0.88594282 -23.450317 50.760784
    Oben rechts KachelX + 1 28500 KachelY 22009 -0.40918938 0.88594282 -23.444824 50.760784
    Unten links KachelX 28499 KachelY + 1 22010 -0.40928525 0.88588218 -23.450317 50.757310
    Unten rechts KachelX + 1 28500 KachelY + 1 22010 -0.40918938 0.88588218 -23.444824 50.757310
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88594282-0.88588218) × R
    6.06400000000562e-05 × 6371000     		dl = 386.337440000358m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88594282-0.88588218) × R
    6.06400000000562e-05 × 6371000     		dr = 386.337440000358m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40928525--0.40918938) × cos(0.88594282) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.632559557599827 × 6371000     		do = 386.359641578576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40928525--0.40918938) × cos(0.88588218) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.632606522827538 × 6371000     		du = 386.388327365277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88594282)-sin(0.88588218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632559557599827-0.632606522827538)×R²
    abs(-0.40918938--0.40928525)×4.6965227710527e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.6965227710527e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.6965227710527e-05×40589641000000     		ar = 149270.736089267m²