Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28499 / 20113
↖ ↑ ↗
← N 77.068339°
W101.725159°		 ← 68.35 m → N 77.068339°
W101.722412°		 →
↑
68.30 m
↓
↑
68.30 m
↓
N 77.067725°
W101.725159°		 ← 68.35 m →
4 668 m²		 N 77.067725°
W101.722412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.217433929443359 y=0.153453826904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.217433929443359 × 217)
    floor (0.217433929443359 × 131072)
    floor (28499.5)     		tx = 28499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153453826904297 × 217)
    floor (0.153453826904297 × 131072)
    floor (20113.5)     		ty = 20113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28499 / 20113 ti = "17/28499/20113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28499/20113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28499 ÷ 217
    28499 ÷ 131072     		x = 0.217430114746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20113 ÷ 217
    20113 ÷ 131072     		y = 0.153450012207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.217430114746094 × 2 - 1) × π
    -0.565139770507812 × 3.1415926535     		Λ = -1.77543895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153450012207031 × 2 - 1) × π
    0.693099975585938 × 3.1415926535     		Φ = 2.17743779144181
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77543895} λ = -1.77543895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17743779144181))-π/2
    2×atan(8.82366918994629)-π/2
    2×1.45794629503525-π/2
    2.9158925900705-1.57079632675     		φ = 1.34509626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77543895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.725159°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34509626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.068339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28499 KachelY 20113 -1.77543895 1.34509626 -101.725159 77.068339
    Oben rechts KachelX + 1 28500 KachelY 20113 -1.77539101 1.34509626 -101.722412 77.068339
    Unten links KachelX 28499 KachelY + 1 20114 -1.77543895 1.34508554 -101.725159 77.067725
    Unten rechts KachelX + 1 28500 KachelY + 1 20114 -1.77539101 1.34508554 -101.722412 77.067725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34509626-1.34508554) × R
    1.07200000001306e-05 × 6371000     		dl = 68.2971200008322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34509626-1.34508554) × R
    1.07200000001306e-05 × 6371000     		dr = 68.2971200008322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77543895--1.77539101) × cos(1.34509626) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.223788728390735 × 6371000     		do = 68.3508379723544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77543895--1.77539101) × cos(1.34508554) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.223799176493793 × 6371000     		du = 68.3540290919627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34509626)-sin(1.34508554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223788728390735-0.223799176493793)×R²
    abs(-1.77539101--1.77543895)×1.04481030585579e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04481030585579e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04481030585579e-05×40589641000000     		ar = 4668.27435542677m²