Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28499 / 14643
↖ ↑ ↗
← N 70.044973°
W 23.450317°		 ← 208.45 m → N 70.044973°
W 23.444824°		 →
↑
208.46 m
↓
↑
208.46 m
↓
N 70.043098°
W 23.450317°		 ← 208.47 m →
43 456 m²		 N 70.043098°
W 23.444824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434867858886719 y=0.223442077636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434867858886719 × 216)
    floor (0.434867858886719 × 65536)
    floor (28499.5)     		tx = 28499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223442077636719 × 216)
    floor (0.223442077636719 × 65536)
    floor (14643.5)     		ty = 14643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28499 / 14643 ti = "16/28499/14643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28499/14643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28499 ÷ 216
    28499 ÷ 65536     		x = 0.434860229492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14643 ÷ 216
    14643 ÷ 65536     		y = 0.223434448242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434860229492188 × 2 - 1) × π
    -0.130279541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40928525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223434448242188 × 2 - 1) × π
    0.553131103515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.73771261122704
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40928525} λ = -0.40928525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73771261122704))-π/2
    2×atan(5.68432627660377)-π/2
    2×1.39665586460193-π/2
    2.79331172920387-1.57079632675     		φ = 1.22251540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40928525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.450317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22251540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.044973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28499 KachelY 14643 -0.40928525 1.22251540 -23.450317 70.044973
    Oben rechts KachelX + 1 28500 KachelY 14643 -0.40918938 1.22251540 -23.444824 70.044973
    Unten links KachelX 28499 KachelY + 1 14644 -0.40928525 1.22248268 -23.450317 70.043098
    Unten rechts KachelX + 1 28500 KachelY + 1 14644 -0.40918938 1.22248268 -23.444824 70.043098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22251540-1.22248268) × R
    3.27200000000971e-05 × 6371000     		dl = 208.459120000619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22251540-1.22248268) × R
    3.27200000000971e-05 × 6371000     		dr = 208.459120000619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40928525--0.40918938) × cos(1.22251540) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.341282451122711 × 6371000     		do = 208.45114726137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40928525--0.40918938) × cos(1.22248268) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.341313206457098 × 6371000     		du = 208.469932243476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22251540)-sin(1.22248268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341282451122711-0.341313206457098)×R²
    abs(-0.40918938--0.40928525)×3.0755334386845e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.0755334386845e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.0755334386845e-05×40589641000000     		ar = 43455.500675298m²