Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28498 / 22010
↖ ↑ ↗
← N 50.757310°
W 23.455810°		 ← 386.39 m → N 50.757310°
W 23.450317°		 →
↑
386.46 m
↓
↑
386.46 m
↓
N 50.753834°
W 23.455810°		 ← 386.42 m →
149 331 m²		 N 50.753834°
W 23.450317°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434852600097656 y=0.335853576660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434852600097656 × 216)
    floor (0.434852600097656 × 65536)
    floor (28498.5)     		tx = 28498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335853576660156 × 216)
    floor (0.335853576660156 × 65536)
    floor (22010.5)     		ty = 22010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28498 / 22010 ti = "16/28498/22010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28498/22010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28498 ÷ 216
    28498 ÷ 65536     		x = 0.434844970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22010 ÷ 216
    22010 ÷ 65536     		y = 0.335845947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434844970703125 × 2 - 1) × π
    -0.13031005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40938112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335845947265625 × 2 - 1) × π
    0.32830810546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.03141033222513
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40938112} λ = -0.40938112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03141033222513))-π/2
    2×atan(2.80501905513229)-π/2
    2×1.22833925155941-π/2
    2.45667850311883-1.57079632675     		φ = 0.88588218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40938112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.455810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88588218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.757310°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28498 KachelY 22010 -0.40938112 0.88588218 -23.455810 50.757310
    Oben rechts KachelX + 1 28499 KachelY 22010 -0.40928525 0.88588218 -23.450317 50.757310
    Unten links KachelX 28498 KachelY + 1 22011 -0.40938112 0.88582152 -23.455810 50.753834
    Unten rechts KachelX + 1 28499 KachelY + 1 22011 -0.40928525 0.88582152 -23.450317 50.753834
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88588218-0.88582152) × R
    6.06599999999347e-05 × 6371000     		dl = 386.464859999584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88588218-0.88582152) × R
    6.06599999999347e-05 × 6371000     		dr = 386.464859999584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40938112--0.40928525) × cos(0.88588218) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.632606522827538 × 6371000     		do = 386.388327365277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40938112--0.40928525) × cos(0.88582152) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.632653501217721 × 6371000     		du = 386.417021191456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88588218)-sin(0.88582152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632606522827538-0.632653501217721)×R²
    abs(-0.40928525--0.40938112)×4.69783901834164e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69783901834164e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69783901834164e-05×40589641000000     		ar = 149331.055464375m²