Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28496 / 22480
↖ ↑ ↗
← N 49.095452°
W 23.466797°		 ← 399.94 m → N 49.095452°
W 23.461304°		 →
↑
399.97 m
↓
↑
399.97 m
↓
N 49.091855°
W 23.466797°		 ← 399.97 m →
159 972 m²		 N 49.091855°
W 23.461304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434822082519531 y=0.343025207519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434822082519531 × 216)
    floor (0.434822082519531 × 65536)
    floor (28496.5)     		tx = 28496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343025207519531 × 216)
    floor (0.343025207519531 × 65536)
    floor (22480.5)     		ty = 22480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28496 / 22480 ti = "16/28496/22480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28496/22480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28496 ÷ 216
    28496 ÷ 65536     		x = 0.434814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22480 ÷ 216
    22480 ÷ 65536     		y = 0.343017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434814453125 × 2 - 1) × π
    -0.13037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40957287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343017578125 × 2 - 1) × π
    0.31396484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.986349646582275
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40957287} λ = -0.40957287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.986349646582275))-π/2
    2×atan(2.68142842405504)-π/2
    2×1.21383680738402-π/2
    2.42767361476804-1.57079632675     		φ = 0.85687729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40957287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.466797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85687729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.095452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28496 KachelY 22480 -0.40957287 0.85687729 -23.466797 49.095452
    Oben rechts KachelX + 1 28497 KachelY 22480 -0.40947700 0.85687729 -23.461304 49.095452
    Unten links KachelX 28496 KachelY + 1 22481 -0.40957287 0.85681451 -23.466797 49.091855
    Unten rechts KachelX + 1 28497 KachelY + 1 22481 -0.40947700 0.85681451 -23.461304 49.091855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85687729-0.85681451) × R
    6.278000000004e-05 × 6371000     		dl = 399.971380000255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85687729-0.85681451) × R
    6.278000000004e-05 × 6371000     		dr = 399.971380000255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40957287--0.40947700) × cos(0.85687729) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.654800805807568 × 6371000     		do = 399.944323973399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40957287--0.40947700) × cos(0.85681451) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.654848253735203 × 6371000     		du = 399.97330458731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85687729)-sin(0.85681451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654800805807568-0.654848253735203)×R²
    abs(-0.40947700--0.40957287)×4.74479276346695e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74479276346695e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74479276346695e-05×40589641000000     		ar = 159972.078943772m²