Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28490 / 4454
↖ ↑ ↗
← N 78.406954°
E133.000488°		 ← 245.49 m → N 78.406954°
E133.011474°		 →
↑
245.47 m
↓
↑
245.47 m
↓
N 78.404746°
E133.000488°		 ← 245.53 m →
60 266 m²		 N 78.404746°
E133.011474°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.869461059570312 y=0.135940551757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.869461059570312 × 215)
    floor (0.869461059570312 × 32768)
    floor (28490.5)     		tx = 28490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135940551757812 × 215)
    floor (0.135940551757812 × 32768)
    floor (4454.5)     		ty = 4454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28490 / 4454 ti = "15/28490/4454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28490/4454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28490 ÷ 215
    28490 ÷ 32768     		x = 0.86944580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4454 ÷ 215
    4454 ÷ 32768     		y = 0.13592529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.86944580078125 × 2 - 1) × π
    0.7388916015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.32129643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13592529296875 × 2 - 1) × π
    0.7281494140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.28754884986908
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32129643} λ = 2.32129643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28754884986908))-π/2
    2×atan(9.85076236714926)-π/2
    2×1.46962791463255-π/2
    2.93925582926509-1.57079632675     		φ = 1.36845950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32129643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.000488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36845950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.406954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28490 KachelY 4454 2.32129643 1.36845950 133.000488 78.406954
    Oben rechts KachelX + 1 28491 KachelY 4454 2.32148817 1.36845950 133.011474 78.406954
    Unten links KachelX 28490 KachelY + 1 4455 2.32129643 1.36842097 133.000488 78.404746
    Unten rechts KachelX + 1 28491 KachelY + 1 4455 2.32148817 1.36842097 133.011474 78.404746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36845950-1.36842097) × R
    3.85299999998701e-05 × 6371000     		dl = 245.474629999172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36845950-1.36842097) × R
    3.85299999998701e-05 × 6371000     		dr = 245.474629999172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32129643-2.32148817) × cos(1.36845950) × R
    0.000191739999999996 × 0.200959032108062 × 6371000     		do = 245.486638165278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32129643-2.32148817) × cos(1.36842097) × R
    0.000191739999999996 × 0.200996775933264 × 6371000     		du = 245.532745098931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36845950)-sin(1.36842097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200959032108062-0.200996775933264)×R²
    abs(2.32148817-2.32129643)×3.77438252020523e-05×R²
    0.000191739999999996×3.77438252020523e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.77438252020523e-05×40589641000000     		ar = 60266.4007222177m²