Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2849 / 5921
↖ ↑ ↗
← S 62.288365°
W 54.799805°		 ← 2 272.33 m → S 62.288365°
W 54.755859°		 →
↑
2 271.52 m
↓
↑
2 271.52 m
↓
S 62.308794°
W 54.799805°		 ← 2 270.78 m →
5 159 874 m²		 S 62.308794°
W 54.755859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.34783935546875 y=0.72283935546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.34783935546875 × 213)
    floor (0.34783935546875 × 8192)
    floor (2849.5)     		tx = 2849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72283935546875 × 213)
    floor (0.72283935546875 × 8192)
    floor (5921.5)     		ty = 5921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2849 / 5921 ti = "13/2849/5921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2849/5921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2849 ÷ 213
    2849 ÷ 8192     		x = 0.3477783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5921 ÷ 213
    5921 ÷ 8192     		y = 0.7227783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3477783203125 × 2 - 1) × π
    -0.304443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.95643702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7227783203125 × 2 - 1) × π
    -0.445556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.39975746890564
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95643702} λ = -0.95643702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39975746890564))-π/2
    2×atan(0.246656778626304)-π/2
    2×0.241829635082372-π/2
    0.483659270164745-1.57079632675     		φ = -1.08713706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95643702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.799805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08713706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.288365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2849 KachelY 5921 -0.95643702 -1.08713706 -54.799805 -62.288365
    Oben rechts KachelX + 1 2850 KachelY 5921 -0.95567003 -1.08713706 -54.755859 -62.288365
    Unten links KachelX 2849 KachelY + 1 5922 -0.95643702 -1.08749360 -54.799805 -62.308794
    Unten rechts KachelX + 1 2850 KachelY + 1 5922 -0.95567003 -1.08749360 -54.755859 -62.308794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08713706--1.08749360) × R
    0.00035653999999985 × 6371000     		dl = 2271.51633999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08713706--1.08749360) × R
    0.00035653999999985 × 6371000     		dr = 2271.51633999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95643702--0.95567003) × cos(-1.08713706) × R
    0.000766990000000023 × 0.465021827704057 × 6371000     		do = 2272.32604077948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95643702--0.95567003) × cos(-1.08749360) × R
    0.000766990000000023 × 0.464706153571727 × 6371000     		du = 2270.78350125002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08713706)-sin(-1.08749360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465021827704057-0.464706153571727)×R²
    abs(-0.95567003--0.95643702)×0.000315674132330301×R²
    0.000766990000000023×0.000315674132330301×6371000²
    0.000766990000000023×0.000315674132330301×40589641000000     		ar = 5159873.8342229m²