Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28487 / 28715
↖ ↑ ↗
← N 70.573372°
W101.758117°		 ← 101.56 m → N 70.573372°
W101.755371°		 →
↑
101.62 m
↓
↑
101.62 m
↓
N 70.572458°
W101.758117°		 ← 101.57 m →
10 321 m²		 N 70.572458°
W101.755371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.217342376708984 y=0.219081878662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.217342376708984 × 217)
    floor (0.217342376708984 × 131072)
    floor (28487.5)     		tx = 28487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219081878662109 × 217)
    floor (0.219081878662109 × 131072)
    floor (28715.5)     		ty = 28715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28487 / 28715 ti = "17/28487/28715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28487/28715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28487 ÷ 217
    28487 ÷ 131072     		x = 0.217338562011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28715 ÷ 217
    28715 ÷ 131072     		y = 0.219078063964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.217338562011719 × 2 - 1) × π
    -0.565322875976562 × 3.1415926535     		Λ = -1.77601419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219078063964844 × 2 - 1) × π
    0.561843872070312 × 3.1415926535     		Φ = 1.76508458091009
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77601419} λ = -1.77601419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76508458091009))-π/2
    2×atan(5.84206646448807)-π/2
    2×1.40126701090469-π/2
    2.80253402180939-1.57079632675     		φ = 1.23173770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77601419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.758117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23173770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.573372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28487 KachelY 28715 -1.77601419 1.23173770 -101.758117 70.573372
    Oben rechts KachelX + 1 28488 KachelY 28715 -1.77596626 1.23173770 -101.755371 70.573372
    Unten links KachelX 28487 KachelY + 1 28716 -1.77601419 1.23172175 -101.758117 70.572458
    Unten rechts KachelX + 1 28488 KachelY + 1 28716 -1.77596626 1.23172175 -101.755371 70.572458
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23173770-1.23172175) × R
    1.59500000000978e-05 × 6371000     		dl = 101.617450000623m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23173770-1.23172175) × R
    1.59500000000978e-05 × 6371000     		dr = 101.617450000623m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77601419--1.77596626) × cos(1.23173770) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.332599460525408 × 6371000     		do = 101.563246443006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77601419--1.77596626) × cos(1.23172175) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.332614502420629 × 6371000     		du = 101.567839666665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23173770)-sin(1.23172175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332599460525408-0.332614502420629)×R²
    abs(-1.77596626--1.77601419)×1.50418952203357e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50418952203357e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50418952203357e-05×40589641000000     		ar = 10320.831493412m²