Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28486 / 4438
↖ ↑ ↗
← N 78.442226°
E132.956543°		 ← 244.75 m → N 78.442226°
E132.967529°		 →
↑
244.77 m
↓
↑
244.77 m
↓
N 78.440024°
E132.956543°		 ← 244.80 m →
59 914 m²		 N 78.440024°
E132.967529°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.869338989257812 y=0.135452270507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.869338989257812 × 215)
    floor (0.869338989257812 × 32768)
    floor (28486.5)     		tx = 28486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135452270507812 × 215)
    floor (0.135452270507812 × 32768)
    floor (4438.5)     		ty = 4438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28486 / 4438 ti = "15/28486/4438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28486/4438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28486 ÷ 215
    28486 ÷ 32768     		x = 0.86932373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4438 ÷ 215
    4438 ÷ 32768     		y = 0.13543701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.86932373046875 × 2 - 1) × π
    0.7386474609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.32052944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13543701171875 × 2 - 1) × π
    0.7291259765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.29061681144476
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32052944} λ = 2.32052944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29061681144476))-π/2
    2×atan(9.88103053462896)-π/2
    2×1.46993571913822-π/2
    2.93987143827645-1.57079632675     		φ = 1.36907511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32052944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.956543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36907511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.442226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28486 KachelY 4438 2.32052944 1.36907511 132.956543 78.442226
    Oben rechts KachelX + 1 28487 KachelY 4438 2.32072118 1.36907511 132.967529 78.442226
    Unten links KachelX 28486 KachelY + 1 4439 2.32052944 1.36903669 132.956543 78.440024
    Unten rechts KachelX + 1 28487 KachelY + 1 4439 2.32072118 1.36903669 132.967529 78.440024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36907511-1.36903669) × R
    3.84200000000945e-05 × 6371000     		dl = 244.773820000602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36907511-1.36903669) × R
    3.84200000000945e-05 × 6371000     		dr = 244.773820000602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32052944-2.32072118) × cos(1.36907511) × R
    0.000191739999999996 × 0.200355942728483 × 6371000     		do = 244.74991893075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32052944-2.32072118) × cos(1.36903669) × R
    0.000191739999999996 × 0.200393583544918 × 6371000     		du = 244.795900031412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36907511)-sin(1.36903669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200355942728483-0.200393583544918)×R²
    abs(2.32072118-2.32052944)×3.76408164349806e-05×R²
    0.000191739999999996×3.76408164349806e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.76408164349806e-05×40589641000000     		ar = 59914.0000943332m²