Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28485 / 14569
↖ ↑ ↗
← N 70.183241°
W 23.527222°		 ← 207.07 m → N 70.183241°
W 23.521729°		 →
↑
207.12 m
↓
↑
207.12 m
↓
N 70.181378°
W 23.527222°		 ← 207.08 m →
42 890 m²		 N 70.181378°
W 23.521729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434654235839844 y=0.222312927246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434654235839844 × 216)
    floor (0.434654235839844 × 65536)
    floor (28485.5)     		tx = 28485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222312927246094 × 216)
    floor (0.222312927246094 × 65536)
    floor (14569.5)     		ty = 14569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28485 / 14569 ti = "16/28485/14569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28485/14569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28485 ÷ 216
    28485 ÷ 65536     		x = 0.434646606445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14569 ÷ 216
    14569 ÷ 65536     		y = 0.222305297851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434646606445312 × 2 - 1) × π
    -0.130706787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.41062748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222305297851562 × 2 - 1) × π
    0.555389404296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.7448072723708
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41062748} λ = -0.41062748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7448072723708))-π/2
    2×atan(5.72479804233937)-π/2
    2×1.39786247734653-π/2
    2.79572495469306-1.57079632675     		φ = 1.22492863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41062748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.527222°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22492863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.183241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28485 KachelY 14569 -0.41062748 1.22492863 -23.527222 70.183241
    Oben rechts KachelX + 1 28486 KachelY 14569 -0.41053161 1.22492863 -23.521729 70.183241
    Unten links KachelX 28485 KachelY + 1 14570 -0.41062748 1.22489612 -23.527222 70.181378
    Unten rechts KachelX + 1 28486 KachelY + 1 14570 -0.41053161 1.22489612 -23.521729 70.181378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22492863-1.22489612) × R
    3.25100000000411e-05 × 6371000     		dl = 207.121210000262m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22492863-1.22489612) × R
    3.25100000000411e-05 × 6371000     		dr = 207.121210000262m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41062748--0.41053161) × cos(1.22492863) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.339013117985562 × 6371000     		do = 207.065066335144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41062748--0.41053161) × cos(1.22489612) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.339043702617723 × 6371000     		du = 207.083747054418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22492863)-sin(1.22489612))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339013117985562-0.339043702617723)×R²
    abs(-0.41053161--0.41062748)×3.05846321612124e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.05846321612124e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.05846321612124e-05×40589641000000     		ar = 42889.5016784967m²