Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28484 / 4295
↖ ↑ ↗
← N 78.752802°
E132.934570°		 ← 238.27 m → N 78.752802°
E132.945557°		 →
↑
238.28 m
↓
↑
238.28 m
↓
N 78.750659°
E132.934570°		 ← 238.32 m →
56 780 m²		 N 78.750659°
E132.945557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.869277954101562 y=0.131088256835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.869277954101562 × 215)
    floor (0.869277954101562 × 32768)
    floor (28484.5)     		tx = 28484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131088256835938 × 215)
    floor (0.131088256835938 × 32768)
    floor (4295.5)     		ty = 4295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28484 / 4295 ti = "15/28484/4295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28484/4295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28484 ÷ 215
    28484 ÷ 32768     		x = 0.8692626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4295 ÷ 215
    4295 ÷ 32768     		y = 0.131072998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8692626953125 × 2 - 1) × π
    0.738525390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.32014594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131072998046875 × 2 - 1) × π
    0.73785400390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.31803671802744
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32014594} λ = 2.32014594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31803671802744))-π/2
    2×atan(10.1557161862686)-π/2
    2×1.47264600870165-π/2
    2.94529201740331-1.57079632675     		φ = 1.37449569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32014594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.934570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37449569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.752802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28484 KachelY 4295 2.32014594 1.37449569 132.934570 78.752802
    Oben rechts KachelX + 1 28485 KachelY 4295 2.32033769 1.37449569 132.945557 78.752802
    Unten links KachelX 28484 KachelY + 1 4296 2.32014594 1.37445829 132.934570 78.750659
    Unten rechts KachelX + 1 28485 KachelY + 1 4296 2.32033769 1.37445829 132.945557 78.750659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37449569-1.37445829) × R
    3.74000000000763e-05 × 6371000     		dl = 238.275400000486m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37449569-1.37445829) × R
    3.74000000000763e-05 × 6371000     		dr = 238.275400000486m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32014594-2.32033769) × cos(1.37449569) × R
    0.000191749999999935 × 0.195042357406086 × 6371000     		do = 238.271399219722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32014594-2.32033769) × cos(1.37445829) × R
    0.000191749999999935 × 0.195079038995934 × 6371000     		du = 238.316210889633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37449569)-sin(1.37445829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195042357406086-0.195079038995934)×R²
    abs(2.32033769-2.32014594)×3.66815898484862e-05×R²
    0.000191749999999935×3.66815898484862e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.66815898484862e-05×40589641000000     		ar = 56779.5517234874m²