Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28482 / 4290
↖ ↑ ↗
← N 78.763511°
E132.912598°		 ← 238.04 m → N 78.763511°
E132.923584°		 →
↑
238.08 m
↓
↑
238.08 m
↓
N 78.761370°
E132.912598°		 ← 238.08 m →
56 678 m²		 N 78.761370°
E132.923584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28482 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.869216918945312 y=0.130935668945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.869216918945312 × 215)
    floor (0.869216918945312 × 32768)
    floor (28482.5)     		tx = 28482
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130935668945312 × 215)
    floor (0.130935668945312 × 32768)
    floor (4290.5)     		ty = 4290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28482 / 4290 ti = "15/28482/4290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28482/4290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28482 ÷ 215
    28482 ÷ 32768     		x = 0.86920166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4290 ÷ 215
    4290 ÷ 32768     		y = 0.13092041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.86920166015625 × 2 - 1) × π
    0.7384033203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.31976245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13092041015625 × 2 - 1) × π
    0.7381591796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.31899545601984
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31976245} λ = 2.31976245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31899545601984))-π/2
    2×atan(10.1654575261666)-π/2
    2×1.47273946201477-π/2
    2.94547892402954-1.57079632675     		φ = 1.37468260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31976245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.912598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37468260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.763511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28482 KachelY 4290 2.31976245 1.37468260 132.912598 78.763511
    Oben rechts KachelX + 1 28483 KachelY 4290 2.31995419 1.37468260 132.923584 78.763511
    Unten links KachelX 28482 KachelY + 1 4291 2.31976245 1.37464523 132.912598 78.761370
    Unten rechts KachelX + 1 28483 KachelY + 1 4291 2.31995419 1.37464523 132.923584 78.761370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37468260-1.37464523) × R
    3.73700000000365e-05 × 6371000     		dl = 238.084270000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37468260-1.37464523) × R
    3.73700000000365e-05 × 6371000     		dr = 238.084270000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31976245-2.31995419) × cos(1.37468260) × R
    0.000191739999999996 × 0.194859033640422 × 6371000     		do = 238.035029243172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31976245-2.31995419) × cos(1.37464523) × R
    0.000191739999999996 × 0.19489568716847 × 6371000     		du = 238.079804296489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37468260)-sin(1.37464523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194859033640422-0.19489568716847)×R²
    abs(2.31995419-2.31976245)×3.66535280474367e-05×R²
    0.000191739999999996×3.66535280474367e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.66535280474367e-05×40589641000000     		ar = 56677.7262961865m²