Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28482 / 21186
↖ ↑ ↗
← N 53.533778°
W 23.543701°		 ← 363.02 m → N 53.533778°
W 23.538208°		 →
↑
363.02 m
↓
↑
363.02 m
↓
N 53.530513°
W 23.543701°		 ← 363.05 m →
131 789 m²		 N 53.530513°
W 23.538208°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28482 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434608459472656 y=0.323280334472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434608459472656 × 216)
    floor (0.434608459472656 × 65536)
    floor (28482.5)     		tx = 28482
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323280334472656 × 216)
    floor (0.323280334472656 × 65536)
    floor (21186.5)     		ty = 21186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28482 / 21186 ti = "16/28482/21186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28482/21186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28482 ÷ 216
    28482 ÷ 65536     		x = 0.434600830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21186 ÷ 216
    21186 ÷ 65536     		y = 0.323272705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434600830078125 × 2 - 1) × π
    -0.13079833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.41091510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323272705078125 × 2 - 1) × π
    0.35345458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.11041034279898
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41091510} λ = -0.41091510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11041034279898))-π/2
    2×atan(3.03560377705178)-π/2
    2×1.25256850856182-π/2
    2.50513701712364-1.57079632675     		φ = 0.93434069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41091510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.543701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93434069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.533778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28482 KachelY 21186 -0.41091510 0.93434069 -23.543701 53.533778
    Oben rechts KachelX + 1 28483 KachelY 21186 -0.41081923 0.93434069 -23.538208 53.533778
    Unten links KachelX 28482 KachelY + 1 21187 -0.41091510 0.93428371 -23.543701 53.530513
    Unten rechts KachelX + 1 28483 KachelY + 1 21187 -0.41081923 0.93428371 -23.538208 53.530513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93434069-0.93428371) × R
    5.69799999999843e-05 × 6371000     		dl = 363.0195799999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93434069-0.93428371) × R
    5.69799999999843e-05 × 6371000     		dr = 363.0195799999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41091510--0.41081923) × cos(0.93434069) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.594348777490457 × 6371000     		do = 363.020964405614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41091510--0.41081923) × cos(0.93428371) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.594394600262833 × 6371000     		du = 363.048952394569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93434069)-sin(0.93428371))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594348777490457-0.594394600262833)×R²
    abs(-0.41081923--0.41091510)×4.58227723768578e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.58227723768578e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.58227723768578e-05×40589641000000     		ar = 131788.798159403m²