Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28480 / 21056
↖ ↑ ↗
← N 53.956085°
W 23.554687°		 ← 359.39 m → N 53.956085°
W 23.549194°		 →
↑
359.39 m
↓
↑
359.39 m
↓
N 53.952853°
W 23.554687°		 ← 359.42 m →
129 166 m²		 N 53.952853°
W 23.549194°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434577941894531 y=0.321296691894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434577941894531 × 216)
    floor (0.434577941894531 × 65536)
    floor (28480.5)     		tx = 28480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321296691894531 × 216)
    floor (0.321296691894531 × 65536)
    floor (21056.5)     		ty = 21056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28480 / 21056 ti = "16/28480/21056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28480/21056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28480 ÷ 216
    28480 ÷ 65536     		x = 0.4345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21056 ÷ 216
    21056 ÷ 65536     		y = 0.3212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4345703125 × 2 - 1) × π
    -0.130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.41110685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3212890625 × 2 - 1) × π
    0.357421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.1228739367002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41110685} λ = -0.41110685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1228739367002))-π/2
    2×atan(3.07367506950282)-π/2
    2×1.25625383538971-π/2
    2.51250767077942-1.57079632675     		φ = 0.94171134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41110685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.554687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94171134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.956085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28480 KachelY 21056 -0.41110685 0.94171134 -23.554687 53.956085
    Oben rechts KachelX + 1 28481 KachelY 21056 -0.41101098 0.94171134 -23.549194 53.956085
    Unten links KachelX 28480 KachelY + 1 21057 -0.41110685 0.94165493 -23.554687 53.952853
    Unten rechts KachelX + 1 28481 KachelY + 1 21057 -0.41101098 0.94165493 -23.549194 53.952853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94171134-0.94165493) × R
    5.64100000000067e-05 × 6371000     		dl = 359.388110000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94171134-0.94165493) × R
    5.64100000000067e-05 × 6371000     		dr = 359.388110000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41110685--0.41101098) × cos(0.94171134) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.588405155574787 × 6371000     		do = 359.390672830019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41110685--0.41101098) × cos(0.94165493) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.588450765860476 × 6371000     		du = 359.418531034705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94171134)-sin(0.94165493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.588405155574787-0.588450765860476)×R²
    abs(-0.41101098--0.41110685)×4.56102856896123e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.56102856896123e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.56102856896123e-05×40589641000000     		ar = 129165.740648211m²