Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 2848 / 5929
↖ ↑ ↗
← S 62.451406°
W 54.843750°		 ← 2 260.01 m → S 62.451406°
W 54.799805°		 →
↑
2 259.22 m
↓
↑
2 259.22 m
↓
S 62.471724°
W 54.843750°		 ← 2 258.47 m →
5 104 118 m²		 S 62.471724°
W 54.799805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.34771728515625 y=0.72381591796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.34771728515625 × 213)
    floor (0.34771728515625 × 8192)
    floor (2848.5)     		tx = 2848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72381591796875 × 213)
    floor (0.72381591796875 × 8192)
    floor (5929.5)     		ty = 5929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2848 / 5929 ti = "13/2848/5929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2848/5929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2848 ÷ 213
    2848 ÷ 8192     		x = 0.34765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5929 ÷ 213
    5929 ÷ 8192     		y = 0.7237548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34765625 × 2 - 1) × π
    -0.3046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.95720401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7237548828125 × 2 - 1) × π
    -0.447509765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.40589339205701
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95720401} λ = -0.95720401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40589339205701))-π/2
    2×atan(0.245147945364267)-π/2
    2×0.24040683581447-π/2
    0.480813671628939-1.57079632675     		φ = -1.08998266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95720401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.843750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08998266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.451406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2848 KachelY 5929 -0.95720401 -1.08998266 -54.843750 -62.451406
    Oben rechts KachelX + 1 2849 KachelY 5929 -0.95643702 -1.08998266 -54.799805 -62.451406
    Unten links KachelX 2848 KachelY + 1 5930 -0.95720401 -1.09033727 -54.843750 -62.471724
    Unten rechts KachelX + 1 2849 KachelY + 1 5930 -0.95643702 -1.09033727 -54.799805 -62.471724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08998266--1.09033727) × R
    0.000354610000000033 × 6371000     		dl = 2259.22031000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08998266--1.09033727) × R
    0.000354610000000033 × 6371000     		dr = 2259.22031000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95720401--0.95643702) × cos(-1.08998266) × R
    0.000766990000000023 × 0.462500740916468 × 6371000     		do = 2260.00676710842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95720401--0.95643702) × cos(-1.09033727) × R
    0.000766990000000023 × 0.462186307917435 × 6371000     		du = 2258.47029236849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08998266)-sin(-1.09033727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462500740916468-0.462186307917435)×R²
    abs(-0.95643702--0.95720401)×0.000314432999032443×R²
    0.000766990000000023×0.000314432999032443×6371000²
    0.000766990000000023×0.000314432999032443×40589641000000     		ar = 5104117.62500699m²