Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28472 / 14583
↖ ↑ ↗
← N 70.157153°
W 23.598633°		 ← 207.33 m → N 70.157153°
W 23.593140°		 →
↑
207.38 m
↓
↑
207.38 m
↓
N 70.155288°
W 23.598633°		 ← 207.35 m →
42 997 m²		 N 70.155288°
W 23.593140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14583 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434455871582031 y=0.222526550292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434455871582031 × 216)
    floor (0.434455871582031 × 65536)
    floor (28472.5)     		tx = 28472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222526550292969 × 216)
    floor (0.222526550292969 × 65536)
    floor (14583.5)     		ty = 14583
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28472 / 14583 ti = "16/28472/14583"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28472/14583.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28472 ÷ 216
    28472 ÷ 65536     		x = 0.4344482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14583 ÷ 216
    14583 ÷ 65536     		y = 0.222518920898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4344482421875 × 2 - 1) × π
    -0.131103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.41187384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222518920898438 × 2 - 1) × π
    0.554962158203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.74346503918144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41187384} λ = -0.41187384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74346503918144))-π/2
    2×atan(5.71711918296735)-π/2
    2×1.39763481631472-π/2
    2.79526963262945-1.57079632675     		φ = 1.22447331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41187384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.598633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22447331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.157153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28472 KachelY 14583 -0.41187384 1.22447331 -23.598633 70.157153
    Oben rechts KachelX + 1 28473 KachelY 14583 -0.41177797 1.22447331 -23.593140 70.157153
    Unten links KachelX 28472 KachelY + 1 14584 -0.41187384 1.22444076 -23.598633 70.155288
    Unten rechts KachelX + 1 28473 KachelY + 1 14584 -0.41177797 1.22444076 -23.593140 70.155288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22447331-1.22444076) × R
    3.25500000000201e-05 × 6371000     		dl = 207.376050000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22447331-1.22444076) × R
    3.25500000000201e-05 × 6371000     		dr = 207.376050000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41187384--0.41177797) × cos(1.22447331) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.339441439528438 × 6371000     		do = 207.32667989516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41187384--0.41177797) × cos(1.22444076) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.339472056763622 × 6371000     		du = 207.345380527962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22447331)-sin(1.22444076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339441439528438-0.339472056763622)×R²
    abs(-0.41177797--0.41187384)×3.06172351847711e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.06172351847711e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.06172351847711e-05×40589641000000     		ar = 42996.5269721569m²