Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28469 / 14896
↖ ↑ ↗
← N 69.565226°
W 23.615112°		 ← 213.25 m → N 69.565226°
W 23.609619°		 →
↑
213.30 m
↓
↑
213.30 m
↓
N 69.563308°
W 23.615112°		 ← 213.27 m →
45 489 m²		 N 69.563308°
W 23.609619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434410095214844 y=0.227302551269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434410095214844 × 216)
    floor (0.434410095214844 × 65536)
    floor (28469.5)     		tx = 28469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227302551269531 × 216)
    floor (0.227302551269531 × 65536)
    floor (14896.5)     		ty = 14896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28469 / 14896 ti = "16/28469/14896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28469/14896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28469 ÷ 216
    28469 ÷ 65536     		x = 0.434402465820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14896 ÷ 216
    14896 ÷ 65536     		y = 0.227294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434402465820312 × 2 - 1) × π
    -0.131195068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.41216146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227294921875 × 2 - 1) × π
    0.54541015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.71345654001929
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41216146} λ = -0.41216146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71345654001929))-π/2
    2×atan(5.54810562142545)-π/2
    2×1.39246928182623-π/2
    2.78493856365246-1.57079632675     		φ = 1.21414224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41216146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.615112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21414224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.565226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28469 KachelY 14896 -0.41216146 1.21414224 -23.615112 69.565226
    Oben rechts KachelX + 1 28470 KachelY 14896 -0.41206559 1.21414224 -23.609619 69.565226
    Unten links KachelX 28469 KachelY + 1 14897 -0.41216146 1.21410876 -23.615112 69.563308
    Unten rechts KachelX + 1 28470 KachelY + 1 14897 -0.41206559 1.21410876 -23.609619 69.563308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21414224-1.21410876) × R
    3.34799999999191e-05 × 6371000     		dl = 213.301079999485m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21414224-1.21410876) × R
    3.34799999999191e-05 × 6371000     		dr = 213.301079999485m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41216146--0.41206559) × cos(1.21414224) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.349140837699934 × 6371000     		do = 213.25095367467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41216146--0.41206559) × cos(1.21410876) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.349172210616614 × 6371000     		du = 213.270115868487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21414224)-sin(1.21410876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349140837699934-0.349172210616614)×R²
    abs(-0.41206559--0.41216146)×3.13729166795396e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.13729166795396e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.13729166795396e-05×40589641000000     		ar = 45488.7023922339m²