Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28468 / 21331
↖ ↑ ↗
← N 53.057724°
W 23.620606°		 ← 367.13 m → N 53.057724°
W 23.615112°		 →
↑
367.16 m
↓
↑
367.16 m
↓
N 53.054422°
W 23.620606°		 ← 367.16 m →
134 800 m²		 N 53.054422°
W 23.615112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434394836425781 y=0.325492858886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434394836425781 × 216)
    floor (0.434394836425781 × 65536)
    floor (28468.5)     		tx = 28468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325492858886719 × 216)
    floor (0.325492858886719 × 65536)
    floor (21331.5)     		ty = 21331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28468 / 21331 ti = "16/28468/21331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28468/21331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28468 ÷ 216
    28468 ÷ 65536     		x = 0.43438720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21331 ÷ 216
    21331 ÷ 65536     		y = 0.325485229492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43438720703125 × 2 - 1) × π
    -0.1312255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.41225734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325485229492188 × 2 - 1) × π
    0.349029541015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.09650864190916
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41225734} λ = -0.41225734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09650864190916))-π/2
    2×atan(2.99369569306548)-π/2
    2×1.24841414720091-π/2
    2.49682829440181-1.57079632675     		φ = 0.92603197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41225734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.620606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92603197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.057724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28468 KachelY 21331 -0.41225734 0.92603197 -23.620606 53.057724
    Oben rechts KachelX + 1 28469 KachelY 21331 -0.41216146 0.92603197 -23.615112 53.057724
    Unten links KachelX 28468 KachelY + 1 21332 -0.41225734 0.92597434 -23.620606 53.054422
    Unten rechts KachelX + 1 28469 KachelY + 1 21332 -0.41216146 0.92597434 -23.615112 53.054422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92603197-0.92597434) × R
    5.76300000000307e-05 × 6371000     		dl = 367.160730000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92603197-0.92597434) × R
    5.76300000000307e-05 × 6371000     		dr = 367.160730000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41225734--0.41216146) × cos(0.92603197) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.601010119393915 × 6371000     		do = 367.127920926934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41225734--0.41216146) × cos(0.92597434) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.601056178678483 × 6371000     		du = 367.15605630908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92603197)-sin(0.92597434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601010119393915-0.601056178678483)×R²
    abs(-0.41216146--0.41225734)×4.6059284567912e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.6059284567912e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.6059284567912e-05×40589641000000     		ar = 134800.120592059m²