Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28468 / 14903
↖ ↑ ↗
← N 69.551797°
W 23.620606°		 ← 213.41 m → N 69.551797°
W 23.615112°		 →
↑
213.43 m
↓
↑
213.43 m
↓
N 69.549877°
W 23.620606°		 ← 213.43 m →
45 549 m²		 N 69.549877°
W 23.615112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434394836425781 y=0.227409362792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434394836425781 × 216)
    floor (0.434394836425781 × 65536)
    floor (28468.5)     		tx = 28468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227409362792969 × 216)
    floor (0.227409362792969 × 65536)
    floor (14903.5)     		ty = 14903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28468 / 14903 ti = "16/28468/14903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28468/14903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28468 ÷ 216
    28468 ÷ 65536     		x = 0.43438720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14903 ÷ 216
    14903 ÷ 65536     		y = 0.227401733398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43438720703125 × 2 - 1) × π
    -0.1312255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.41225734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227401733398438 × 2 - 1) × π
    0.545196533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.71278542342461
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41225734} λ = -0.41225734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71278542342461))-π/2
    2×atan(5.54438344482081)-π/2
    2×1.39235208787448-π/2
    2.78470417574896-1.57079632675     		φ = 1.21390785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41225734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.620606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21390785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.551797°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28468 KachelY 14903 -0.41225734 1.21390785 -23.620606 69.551797
    Oben rechts KachelX + 1 28469 KachelY 14903 -0.41216146 1.21390785 -23.615112 69.551797
    Unten links KachelX 28468 KachelY + 1 14904 -0.41225734 1.21387435 -23.620606 69.549877
    Unten rechts KachelX + 1 28469 KachelY + 1 14904 -0.41216146 1.21387435 -23.615112 69.549877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21390785-1.21387435) × R
    3.35000000000196e-05 × 6371000     		dl = 213.428500000125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21390785-1.21387435) × R
    3.35000000000196e-05 × 6371000     		dr = 213.428500000125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41225734--0.41216146) × cos(1.21390785) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.349360468005907 × 6371000     		do = 213.407358935008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41225734--0.41216146) × cos(1.21387435) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.349391856921296 × 6371000     		du = 213.426532900429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21390785)-sin(1.21387435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349360468005907-0.349391856921296)×R²
    abs(-0.41216146--0.41225734)×3.13889153889524e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.13889153889524e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.13889153889524e-05×40589641000000     		ar = 45549.2586463041m²