Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28467 / 20260
↖ ↑ ↗
← N 76.977674°
W101.813049°		 ← 68.81 m → N 76.977674°
W101.810303°		 →
↑
68.81 m
↓
↑
68.81 m
↓
N 76.977055°
W101.813049°		 ← 68.81 m →
4 735 m²		 N 76.977055°
W101.810303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28467 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.217189788818359 y=0.154575347900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.217189788818359 × 217)
    floor (0.217189788818359 × 131072)
    floor (28467.5)     		tx = 28467
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154575347900391 × 217)
    floor (0.154575347900391 × 131072)
    floor (20260.5)     		ty = 20260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28467 / 20260 ti = "17/28467/20260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28467/20260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28467 ÷ 217
    28467 ÷ 131072     		x = 0.217185974121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20260 ÷ 217
    20260 ÷ 131072     		y = 0.154571533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.217185974121094 × 2 - 1) × π
    -0.565628051757812 × 3.1415926535     		Λ = -1.77697293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154571533203125 × 2 - 1) × π
    0.69085693359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.17039106719766
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77697293} λ = -1.77697293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17039106719766))-π/2
    2×atan(8.76170978814204)-π/2
    2×1.45715509276632-π/2
    2.91431018553264-1.57079632675     		φ = 1.34351386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77697293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.813049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34351386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.977674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28467 KachelY 20260 -1.77697293 1.34351386 -101.813049 76.977674
    Oben rechts KachelX + 1 28468 KachelY 20260 -1.77692500 1.34351386 -101.810303 76.977674
    Unten links KachelX 28467 KachelY + 1 20261 -1.77697293 1.34350306 -101.813049 76.977055
    Unten rechts KachelX + 1 28468 KachelY + 1 20261 -1.77692500 1.34350306 -101.810303 76.977055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34351386-1.34350306) × R
    1.08000000000885e-05 × 6371000     		dl = 68.8068000005639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34351386-1.34350306) × R
    1.08000000000885e-05 × 6371000     		dr = 68.8068000005639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77697293--1.77692500) × cos(1.34351386) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.225330714227836 × 6371000     		do = 68.8074443176852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77697293--1.77692500) × cos(1.34350306) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.225341236463918 × 6371000     		du = 68.8106574090553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34351386)-sin(1.34350306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225330714227836-0.225341236463918)×R²
    abs(-1.77692500--1.77697293)×1.05222360817503e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.05222360817503e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.05222360817503e-05×40589641000000     		ar = 4734.53060107997m²