Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28465 / 14906
↖ ↑ ↗
← N 69.546038°
W 23.637085°		 ← 213.46 m → N 69.546038°
W 23.631592°		 →
↑
213.43 m
↓
↑
213.43 m
↓
N 69.544119°
W 23.637085°		 ← 213.48 m →
45 562 m²		 N 69.544119°
W 23.631592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434349060058594 y=0.227455139160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434349060058594 × 216)
    floor (0.434349060058594 × 65536)
    floor (28465.5)     		tx = 28465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227455139160156 × 216)
    floor (0.227455139160156 × 65536)
    floor (14906.5)     		ty = 14906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28465 / 14906 ti = "16/28465/14906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28465/14906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28465 ÷ 216
    28465 ÷ 65536     		x = 0.434341430664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14906 ÷ 216
    14906 ÷ 65536     		y = 0.227447509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434341430664062 × 2 - 1) × π
    -0.131317138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.41254496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227447509765625 × 2 - 1) × π
    0.54510498046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.71249780202689
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41254496} λ = -0.41254496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71249780202689))-π/2
    2×atan(5.54278899081545)-π/2
    2×1.39230183933073-π/2
    2.78460367866146-1.57079632675     		φ = 1.21380735
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41254496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.637085°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21380735 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.546038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28465 KachelY 14906 -0.41254496 1.21380735 -23.637085 69.546038
    Oben rechts KachelX + 1 28466 KachelY 14906 -0.41244908 1.21380735 -23.631592 69.546038
    Unten links KachelX 28465 KachelY + 1 14907 -0.41254496 1.21377385 -23.637085 69.544119
    Unten rechts KachelX + 1 28466 KachelY + 1 14907 -0.41244908 1.21377385 -23.631592 69.544119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21380735-1.21377385) × R
    3.35000000000196e-05 × 6371000     		dl = 213.428500000125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21380735-1.21377385) × R
    3.35000000000196e-05 × 6371000     		dr = 213.428500000125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41254496--0.41244908) × cos(1.21380735) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.349454633575723 × 6371000     		do = 213.464880112572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41254496--0.41244908) × cos(1.21377385) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.349486021314691 × 6371000     		du = 213.484053359374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21380735)-sin(1.21377385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349454633575723-0.349486021314691)×R²
    abs(-0.41244908--0.41254496)×3.13877389682693e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.13877389682693e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.13877389682693e-05×40589641000000     		ar = 45561.5352277459m²