Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28460 / 20256
↖ ↑ ↗
← N 76.980149°
W101.832275°		 ← 68.81 m → N 76.980149°
W101.829529°		 →
↑
68.81 m
↓
↑
68.81 m
↓
N 76.979530°
W101.832275°		 ← 68.81 m →
4 735 m²		 N 76.979530°
W101.829529°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.217136383056641 y=0.154544830322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.217136383056641 × 217)
    floor (0.217136383056641 × 131072)
    floor (28460.5)     		tx = 28460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154544830322266 × 217)
    floor (0.154544830322266 × 131072)
    floor (20256.5)     		ty = 20256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28460 / 20256 ti = "17/28460/20256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28460/20256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28460 ÷ 217
    28460 ÷ 131072     		x = 0.217132568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20256 ÷ 217
    20256 ÷ 131072     		y = 0.154541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.217132568359375 × 2 - 1) × π
    -0.56573486328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.77730849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154541015625 × 2 - 1) × π
    0.69091796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.17058281479614
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77730849} λ = -1.77730849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17058281479614))-π/2
    2×atan(8.7633899860343)-π/2
    2×1.45717669406029-π/2
    2.91435338812058-1.57079632675     		φ = 1.34355706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77730849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.832275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34355706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.980149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28460 KachelY 20256 -1.77730849 1.34355706 -101.832275 76.980149
    Oben rechts KachelX + 1 28461 KachelY 20256 -1.77726055 1.34355706 -101.829529 76.980149
    Unten links KachelX 28460 KachelY + 1 20257 -1.77730849 1.34354626 -101.832275 76.979530
    Unten rechts KachelX + 1 28461 KachelY + 1 20257 -1.77726055 1.34354626 -101.829529 76.979530
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34355706-1.34354626) × R
    1.07999999998665e-05 × 6371000     		dl = 68.8067999991493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34355706-1.34354626) × R
    1.07999999998665e-05 × 6371000     		dr = 68.8067999991493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77730849--1.77726055) × cos(1.34355706) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.225288625020696 × 6371000     		do = 68.8089450104834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77730849--1.77726055) × cos(1.34354626) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.2252991473619 × 6371000     		du = 68.8121588043323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34355706)-sin(1.34354626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225288625020696-0.2252991473619)×R²
    abs(-1.77726055--1.77730849)×1.05223412044941e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05223412044941e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05223412044941e-05×40589641000000     		ar = 4734.63388297408m²