Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2846 / 5938
↖ ↑ ↗
← S 62.633769°
W 54.931640°		 ← 2 246.21 m → S 62.633769°
W 54.887695°		 →
↑
2 245.46 m
↓
↑
2 245.46 m
↓
S 62.653963°
W 54.931640°		 ← 2 244.68 m →
5 042 046 m²		 S 62.653963°
W 54.887695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.34747314453125 y=0.72491455078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.34747314453125 × 213)
    floor (0.34747314453125 × 8192)
    floor (2846.5)     		tx = 2846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72491455078125 × 213)
    floor (0.72491455078125 × 8192)
    floor (5938.5)     		ty = 5938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2846 / 5938 ti = "13/2846/5938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2846/5938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2846 ÷ 213
    2846 ÷ 8192     		x = 0.347412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5938 ÷ 213
    5938 ÷ 8192     		y = 0.724853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347412109375 × 2 - 1) × π
    -0.30517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.95873799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724853515625 × 2 - 1) × π
    -0.44970703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.41279630560229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95873799} λ = -0.95873799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41279630560229))-π/2
    2×atan(0.243461537551748)-π/2
    2×0.238815412110301-π/2
    0.477630824220602-1.57079632675     		φ = -1.09316550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95873799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.931640°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09316550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.633769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2846 KachelY 5938 -0.95873799 -1.09316550 -54.931640 -62.633769
    Oben rechts KachelX + 1 2847 KachelY 5938 -0.95797100 -1.09316550 -54.887695 -62.633769
    Unten links KachelX 2846 KachelY + 1 5939 -0.95873799 -1.09351795 -54.931640 -62.653963
    Unten rechts KachelX + 1 2847 KachelY + 1 5939 -0.95797100 -1.09351795 -54.887695 -62.653963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09316550--1.09351795) × R
    0.00035245000000006 × 6371000     		dl = 2245.45895000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09316550--1.09351795) × R
    0.00035245000000006 × 6371000     		dr = 2245.45895000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95873799--0.95797100) × cos(-1.09316550) × R
    0.000766990000000023 × 0.459676436924847 × 6371000     		do = 2246.20582460444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95873799--0.95797100) × cos(-1.09351795) × R
    0.000766990000000023 × 0.459363402305207 × 6371000     		du = 2244.67618303603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09316550)-sin(-1.09351795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459676436924847-0.459363402305207)×R²
    abs(-0.95797100--0.95873799)×0.000313034619640273×R²
    0.000766990000000023×0.000313034619640273×6371000²
    0.000766990000000023×0.000313034619640273×40589641000000     		ar = 5042045.6509221m²