Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28457 / 9064
↖ ↑ ↗
← N 78.233478°
W 23.681030°		 ← 124.57 m → N 78.233478°
W 23.675537°		 →
↑
124.62 m
↓
↑
124.62 m
↓
N 78.232358°
W 23.681030°		 ← 124.58 m →
15 524 m²		 N 78.232358°
W 23.675537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434226989746094 y=0.138313293457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434226989746094 × 216)
    floor (0.434226989746094 × 65536)
    floor (28457.5)     		tx = 28457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138313293457031 × 216)
    floor (0.138313293457031 × 65536)
    floor (9064.5)     		ty = 9064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28457 / 9064 ti = "16/28457/9064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28457/9064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28457 ÷ 216
    28457 ÷ 65536     		x = 0.434219360351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9064 ÷ 216
    9064 ÷ 65536     		y = 0.1383056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434219360351562 × 2 - 1) × π
    -0.131561279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.41331195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1383056640625 × 2 - 1) × π
    0.723388671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.27259253718762
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41331195} λ = -0.41331195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27259253718762))-π/2
    2×atan(9.70452757759805)-π/2
    2×1.46811405099984-π/2
    2.93622810199968-1.57079632675     		φ = 1.36543178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41331195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.681030°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36543178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.233478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28457 KachelY 9064 -0.41331195 1.36543178 -23.681030 78.233478
    Oben rechts KachelX + 1 28458 KachelY 9064 -0.41321607 1.36543178 -23.675537 78.233478
    Unten links KachelX 28457 KachelY + 1 9065 -0.41331195 1.36541222 -23.681030 78.232358
    Unten rechts KachelX + 1 28458 KachelY + 1 9065 -0.41321607 1.36541222 -23.675537 78.232358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36543178-1.36541222) × R
    1.95599999999185e-05 × 6371000     		dl = 124.616759999481m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36543178-1.36541222) × R
    1.95599999999185e-05 × 6371000     		dr = 124.616759999481m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41331195--0.41321607) × cos(1.36543178) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.203924059914323 × 6371000     		do = 124.567313806264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41331195--0.41321607) × cos(1.36541222) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.203943208855354 × 6371000     		du = 124.579010965233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36543178)-sin(1.36541222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203924059914323-0.203943208855354)×R²
    abs(-0.41321607--0.41331195)×1.91489410305834e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.91489410305834e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.91489410305834e-05×40589641000000     		ar = 15523.9038799368m²