Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28455 / 8809
↖ ↑ ↗
← N 78.515734°
W 23.692017°		 ← 121.62 m → N 78.515734°
W 23.686523°		 →
↑
121.62 m
↓
↑
121.62 m
↓
N 78.514640°
W 23.692017°		 ← 121.63 m →
14 792 m²		 N 78.514640°
W 23.686523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434196472167969 y=0.134422302246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434196472167969 × 216)
    floor (0.434196472167969 × 65536)
    floor (28455.5)     		tx = 28455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134422302246094 × 216)
    floor (0.134422302246094 × 65536)
    floor (8809.5)     		ty = 8809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28455 / 8809 ti = "16/28455/8809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28455/8809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28455 ÷ 216
    28455 ÷ 65536     		x = 0.434188842773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8809 ÷ 216
    8809 ÷ 65536     		y = 0.134414672851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434188842773438 × 2 - 1) × π
    -0.131622314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.41350370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134414672851562 × 2 - 1) × π
    0.731170654296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.29704035599385
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41350370} λ = -0.41350370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29704035599385))-π/2
    2×atan(9.94470606682013)-π/2
    2×1.47057719599977-π/2
    2.94115439199954-1.57079632675     		φ = 1.37035807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41350370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.692017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37035807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.515734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28455 KachelY 8809 -0.41350370 1.37035807 -23.692017 78.515734
    Oben rechts KachelX + 1 28456 KachelY 8809 -0.41340782 1.37035807 -23.686523 78.515734
    Unten links KachelX 28455 KachelY + 1 8810 -0.41350370 1.37033898 -23.692017 78.514640
    Unten rechts KachelX + 1 28456 KachelY + 1 8810 -0.41340782 1.37033898 -23.686523 78.514640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37035807-1.37033898) × R
    1.90899999998884e-05 × 6371000     		dl = 121.622389999289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37035807-1.37033898) × R
    1.90899999998884e-05 × 6371000     		dr = 121.622389999289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41350370--0.41340782) × cos(1.37035807) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.19909883253939 × 6371000     		do = 121.619816522949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41350370--0.41340782) × cos(1.37033898) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.199117540310153 × 6371000     		du = 121.631244192407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37035807)-sin(1.37033898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19909883253939-0.199117540310153)×R²
    abs(-0.41340782--0.41350370)×1.87077707628214e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.87077707628214e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.87077707628214e-05×40589641000000     		ar = 14792.3876871458m²