Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 2845 / 5947
↖ ↑ ↗
← S 62.815019°
W 54.975586°		 ← 2 232.47 m → S 62.815019°
W 54.931640°		 →
↑
2 231.70 m
↓
↑
2 231.70 m
↓
S 62.835089°
W 54.975586°		 ← 2 230.94 m →
4 980 491 m²		 S 62.835089°
W 54.931640°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.34735107421875 y=0.72601318359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.34735107421875 × 213)
    floor (0.34735107421875 × 8192)
    floor (2845.5)     		tx = 2845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72601318359375 × 213)
    floor (0.72601318359375 × 8192)
    floor (5947.5)     		ty = 5947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2845 / 5947 ti = "13/2845/5947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2845/5947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2845 ÷ 213
    2845 ÷ 8192     		x = 0.3472900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5947 ÷ 213
    5947 ÷ 8192     		y = 0.7259521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3472900390625 × 2 - 1) × π
    -0.305419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.95950498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7259521484375 × 2 - 1) × π
    -0.451904296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.41969921914758
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95950498} λ = -0.95950498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41969921914758))-π/2
    2×atan(0.241786730780004)-π/2
    2×0.2372337145772-π/2
    0.474467429154399-1.57079632675     		φ = -1.09632890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95950498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.975586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09632890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.815019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2845 KachelY 5947 -0.95950498 -1.09632890 -54.975586 -62.815019
    Oben rechts KachelX + 1 2846 KachelY 5947 -0.95873799 -1.09632890 -54.931640 -62.815019
    Unten links KachelX 2845 KachelY + 1 5948 -0.95950498 -1.09667919 -54.975586 -62.835089
    Unten rechts KachelX + 1 2846 KachelY + 1 5948 -0.95873799 -1.09667919 -54.931640 -62.835089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09632890--1.09667919) × R
    0.000350289999999864 × 6371000     		dl = 2231.69758999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09632890--1.09667919) × R
    0.000350289999999864 × 6371000     		dr = 2231.69758999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95950498--0.95873799) × cos(-1.09632890) × R
    0.000766989999999912 × 0.456864768867899 × 6371000     		do = 2232.46662751013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95950498--0.95873799) × cos(-1.09667919) × R
    0.000766989999999912 × 0.456553145222833 × 6371000     		du = 2230.94388065951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09632890)-sin(-1.09667919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456864768867899-0.456553145222833)×R²
    abs(-0.95873799--0.95950498)×0.000311623645066317×R²
    0.000766989999999912×0.000311623645066317×6371000²
    0.000766989999999912×0.000311623645066317×40589641000000     		ar = 4980491.28805741m²