Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28449 / 8799
↖ ↑ ↗
← N 78.526665°
W 23.724976°		 ← 121.49 m → N 78.526665°
W 23.719483°		 →
↑
121.49 m
↓
↑
121.49 m
↓
N 78.525573°
W 23.724976°		 ← 121.50 m →
14 761 m²		 N 78.525573°
W 23.719483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434104919433594 y=0.134269714355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434104919433594 × 216)
    floor (0.434104919433594 × 65536)
    floor (28449.5)     		tx = 28449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134269714355469 × 216)
    floor (0.134269714355469 × 65536)
    floor (8799.5)     		ty = 8799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28449 / 8799 ti = "16/28449/8799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28449/8799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28449 ÷ 216
    28449 ÷ 65536     		x = 0.434097290039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8799 ÷ 216
    8799 ÷ 65536     		y = 0.134262084960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434097290039062 × 2 - 1) × π
    -0.131805419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.41407894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134262084960938 × 2 - 1) × π
    0.731475830078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.29799909398625
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41407894} λ = -0.41407894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29799909398625))-π/2
    2×atan(9.95424500629083)-π/2
    2×1.47067259298712-π/2
    2.94134518597423-1.57079632675     		φ = 1.37054886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41407894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.724976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37054886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.526665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28449 KachelY 8799 -0.41407894 1.37054886 -23.724976 78.526665
    Oben rechts KachelX + 1 28450 KachelY 8799 -0.41398307 1.37054886 -23.719483 78.526665
    Unten links KachelX 28449 KachelY + 1 8800 -0.41407894 1.37052979 -23.724976 78.525573
    Unten rechts KachelX + 1 28450 KachelY + 1 8800 -0.41398307 1.37052979 -23.719483 78.525573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37054886-1.37052979) × R
    1.90700000000099e-05 × 6371000     		dl = 121.494970000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37054886-1.37052979) × R
    1.90700000000099e-05 × 6371000     		dr = 121.494970000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41407894--0.41398307) × cos(1.37054886) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.198911858644153 × 6371000     		do = 121.492930567815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41407894--0.41398307) × cos(1.37052979) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.198930547539492 × 6371000     		du = 121.504345516522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37054886)-sin(1.37052979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198911858644153-0.198930547539492)×R²
    abs(-0.41398307--0.41407894)×1.86888953387365e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.86888953387365e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.86888953387365e-05×40589641000000     		ar = 14761.4733846512m²