Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28449 / 4832
↖ ↑ ↗
← N 77.542096°
E132.550049°		 ← 263.52 m → N 77.542096°
E132.561035°		 →
↑
263.50 m
↓
↑
263.50 m
↓
N 77.539726°
E132.550049°		 ← 263.57 m →
69 445 m²		 N 77.539726°
E132.561035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.868209838867188 y=0.147476196289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.868209838867188 × 215)
    floor (0.868209838867188 × 32768)
    floor (28449.5)     		tx = 28449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147476196289062 × 215)
    floor (0.147476196289062 × 32768)
    floor (4832.5)     		ty = 4832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28449 / 4832 ti = "15/28449/4832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28449/4832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28449 ÷ 215
    28449 ÷ 32768     		x = 0.868194580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4832 ÷ 215
    4832 ÷ 32768     		y = 0.1474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.868194580078125 × 2 - 1) × π
    0.73638916015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.31343478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1474609375 × 2 - 1) × π
    0.705078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.21506825764355
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31343478} λ = 2.31343478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21506825764355))-π/2
    2×atan(9.16203446914887)-π/2
    2×1.46208060509691-π/2
    2.92416121019382-1.57079632675     		φ = 1.35336488
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31343478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.550049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35336488 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.542096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28449 KachelY 4832 2.31343478 1.35336488 132.550049 77.542096
    Oben rechts KachelX + 1 28450 KachelY 4832 2.31362652 1.35336488 132.561035 77.542096
    Unten links KachelX 28449 KachelY + 1 4833 2.31343478 1.35332352 132.550049 77.539726
    Unten rechts KachelX + 1 28450 KachelY + 1 4833 2.31362652 1.35332352 132.561035 77.539726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35336488-1.35332352) × R
    4.13599999999903e-05 × 6371000     		dl = 263.504559999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35336488-1.35332352) × R
    4.13599999999903e-05 × 6371000     		dr = 263.504559999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31343478-2.31362652) × cos(1.35336488) × R
    0.000191739999999996 × 0.215722261434972 × 6371000     		do = 263.521038002441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31343478-2.31362652) × cos(1.35332352) × R
    0.000191739999999996 × 0.215762647419482 × 6371000     		du = 263.570372533278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35336488)-sin(1.35332352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215722261434972-0.215762647419482)×R²
    abs(2.31362652-2.31343478)×4.03859845103383e-05×R²
    0.000191739999999996×4.03859845103383e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.03859845103383e-05×40589641000000     		ar = 69445.4951160419m²