Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28448 / 8800
↖ ↑ ↗
← N 78.525573°
W 23.730469°		 ← 121.50 m → N 78.525573°
W 23.724976°		 →
↑
121.56 m
↓
↑
121.56 m
↓
N 78.524479°
W 23.730469°		 ← 121.52 m →
14 771 m²		 N 78.524479°
W 23.724976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434089660644531 y=0.134284973144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434089660644531 × 216)
    floor (0.434089660644531 × 65536)
    floor (28448.5)     		tx = 28448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134284973144531 × 216)
    floor (0.134284973144531 × 65536)
    floor (8800.5)     		ty = 8800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28448 / 8800 ti = "16/28448/8800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28448/8800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28448 ÷ 216
    28448 ÷ 65536     		x = 0.43408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8800 ÷ 216
    8800 ÷ 65536     		y = 0.13427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43408203125 × 2 - 1) × π
    -0.1318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.41417481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13427734375 × 2 - 1) × π
    0.7314453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.29790322018701
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41417481} λ = -0.41417481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29790322018701))-π/2
    2×atan(9.95329070075068)-π/2
    2×1.47066305732131-π/2
    2.94132611464262-1.57079632675     		φ = 1.37052979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41417481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.730469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37052979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.525573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28448 KachelY 8800 -0.41417481 1.37052979 -23.730469 78.525573
    Oben rechts KachelX + 1 28449 KachelY 8800 -0.41407894 1.37052979 -23.724976 78.525573
    Unten links KachelX 28448 KachelY + 1 8801 -0.41417481 1.37051071 -23.730469 78.524479
    Unten rechts KachelX + 1 28449 KachelY + 1 8801 -0.41407894 1.37051071 -23.724976 78.524479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37052979-1.37051071) × R
    1.90799999999491e-05 × 6371000     		dl = 121.558679999676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37052979-1.37051071) × R
    1.90799999999491e-05 × 6371000     		dr = 121.558679999676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41417481--0.41407894) × cos(1.37052979) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.198930547539492 × 6371000     		do = 121.504345516522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41417481--0.41407894) × cos(1.37051071) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.198949246162584 × 6371000     		du = 121.515766406823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37052979)-sin(1.37051071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198930547539492-0.198949246162584)×R²
    abs(-0.41407894--0.41417481)×1.8698623092589e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.8698623092589e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.8698623092589e-05×40589641000000     		ar = 14770.6020095585m²