Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28447 / 8802
↖ ↑ ↗
← N 78.523387°
W 23.735962°		 ← 121.54 m → N 78.523387°
W 23.730469°		 →
↑
121.56 m
↓
↑
121.56 m
↓
N 78.522294°
W 23.735962°		 ← 121.55 m →
14 775 m²		 N 78.522294°
W 23.730469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434074401855469 y=0.134315490722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434074401855469 × 216)
    floor (0.434074401855469 × 65536)
    floor (28447.5)     		tx = 28447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134315490722656 × 216)
    floor (0.134315490722656 × 65536)
    floor (8802.5)     		ty = 8802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28447 / 8802 ti = "16/28447/8802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28447/8802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28447 ÷ 216
    28447 ÷ 65536     		x = 0.434066772460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8802 ÷ 216
    8802 ÷ 65536     		y = 0.134307861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434066772460938 × 2 - 1) × π
    -0.131866455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.41427069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134307861328125 × 2 - 1) × π
    0.73138427734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.29771147258853
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41427069} λ = -0.41427069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29771147258853))-π/2
    2×atan(9.95138236412717)-π/2
    2×1.47064398330164-π/2
    2.94128796660328-1.57079632675     		φ = 1.37049164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41427069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.735962°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37049164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.523387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28447 KachelY 8802 -0.41427069 1.37049164 -23.735962 78.523387
    Oben rechts KachelX + 1 28448 KachelY 8802 -0.41417481 1.37049164 -23.730469 78.523387
    Unten links KachelX 28447 KachelY + 1 8803 -0.41427069 1.37047256 -23.735962 78.522294
    Unten rechts KachelX + 1 28448 KachelY + 1 8803 -0.41417481 1.37047256 -23.730469 78.522294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37049164-1.37047256) × R
    1.90799999999491e-05 × 6371000     		dl = 121.558679999676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37049164-1.37047256) × R
    1.90799999999491e-05 × 6371000     		dr = 121.558679999676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41427069--0.41417481) × cos(1.37049164) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.19896793491319 × 6371000     		do = 121.539857514257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41427069--0.41417481) × cos(1.37047256) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.19898663339146 × 6371000     		du = 121.551279507382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37049164)-sin(1.37047256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19896793491319-0.19898663339146)×R²
    abs(-0.41417481--0.41427069)×1.86984782702126e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.86984782702126e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.86984782702126e-05×40589641000000     		ar = 14774.9188686041m²