Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28447 / 4829
↖ ↑ ↗
← N 77.549204°
E132.528076°		 ← 263.39 m → N 77.549204°
E132.539063°		 →
↑
263.38 m
↓
↑
263.38 m
↓
N 77.546835°
E132.528076°		 ← 263.44 m →
69 377 m²		 N 77.546835°
E132.539063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.868148803710938 y=0.147384643554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.868148803710938 × 215)
    floor (0.868148803710938 × 32768)
    floor (28447.5)     		tx = 28447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147384643554688 × 215)
    floor (0.147384643554688 × 32768)
    floor (4829.5)     		ty = 4829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28447 / 4829 ti = "15/28447/4829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28447/4829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28447 ÷ 215
    28447 ÷ 32768     		x = 0.868133544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4829 ÷ 215
    4829 ÷ 32768     		y = 0.147369384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.868133544921875 × 2 - 1) × π
    0.73626708984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.31305128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147369384765625 × 2 - 1) × π
    0.70526123046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.215643500439
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31305128} λ = 2.31305128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.215643500439))-π/2
    2×atan(9.16730637963773)-π/2
    2×1.46214263401174-π/2
    2.92428526802348-1.57079632675     		φ = 1.35348894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31305128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.528076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35348894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.549204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28447 KachelY 4829 2.31305128 1.35348894 132.528076 77.549204
    Oben rechts KachelX + 1 28448 KachelY 4829 2.31324303 1.35348894 132.539063 77.549204
    Unten links KachelX 28447 KachelY + 1 4830 2.31305128 1.35344760 132.528076 77.546835
    Unten rechts KachelX + 1 28448 KachelY + 1 4830 2.31324303 1.35344760 132.539063 77.546835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35348894-1.35344760) × R
    4.13400000001118e-05 × 6371000     		dl = 263.377140000713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35348894-1.35344760) × R
    4.13400000001118e-05 × 6371000     		dr = 263.377140000713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31305128-2.31324303) × cos(1.35348894) × R
    0.000191750000000379 × 0.215601120797196 × 6371000     		do = 263.386791510367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31305128-2.31324303) × cos(1.35344760) × R
    0.000191750000000379 × 0.215641488358945 × 6371000     		du = 263.436106108226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35348894)-sin(1.35344760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215601120797196-0.215641488358945)×R²
    abs(2.31324303-2.31305128)×4.03675617483557e-05×R²
    0.000191750000000379×4.03675617483557e-05×6371000²
    0.000191750000000379×4.03675617483557e-05×40589641000000     		ar = 69376.5540398916m²