Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28446 / 20262
↖ ↑ ↗
← N 76.976436°
W101.870728°		 ← 68.83 m → N 76.976436°
W101.867981°		 →
↑
68.81 m
↓
↑
68.81 m
↓
N 76.975817°
W101.870728°		 ← 68.83 m →
4 736 m²		 N 76.975817°
W101.867981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28446 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20262 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.217029571533203 y=0.154590606689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.217029571533203 × 217)
    floor (0.217029571533203 × 131072)
    floor (28446.5)     		tx = 28446
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154590606689453 × 217)
    floor (0.154590606689453 × 131072)
    floor (20262.5)     		ty = 20262
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28446 / 20262 ti = "17/28446/20262"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28446/20262.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28446 ÷ 217
    28446 ÷ 131072     		x = 0.217025756835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20262 ÷ 217
    20262 ÷ 131072     		y = 0.154586791992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.217025756835938 × 2 - 1) × π
    -0.565948486328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.77797961
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154586791992188 × 2 - 1) × π
    0.690826416015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.17029519339842
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77797961} λ = -1.77797961}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17029519339842))-π/2
    2×atan(8.7608698100034)-π/2
    2×1.45714429060594-π/2
    2.91428858121187-1.57079632675     		φ = 1.34349225
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77797961} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.870728°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34349225 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.976436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28446 KachelY 20262 -1.77797961 1.34349225 -101.870728 76.976436
    Oben rechts KachelX + 1 28447 KachelY 20262 -1.77793167 1.34349225 -101.867981 76.976436
    Unten links KachelX 28446 KachelY + 1 20263 -1.77797961 1.34348145 -101.870728 76.975817
    Unten rechts KachelX + 1 28447 KachelY + 1 20263 -1.77793167 1.34348145 -101.867981 76.975817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34349225-1.34348145) × R
    1.07999999998665e-05 × 6371000     		dl = 68.8067999991493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34349225-1.34348145) × R
    1.07999999998665e-05 × 6371000     		dr = 68.8067999991493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77797961--1.77793167) × cos(1.34349225) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.22535176841649 × 6371000     		do = 68.82823062887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77797961--1.77793167) × cos(1.34348145) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.225362290599979 × 6371000     		du = 68.8314443745484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34349225)-sin(1.34348145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22535176841649-0.225362290599979)×R²
    abs(-1.77793167--1.77797961)×1.05221834883762e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05221834883762e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05221834883762e-05×40589641000000     		ar = 4735.96086302084m²