Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 28445 / 4831
↖ ↑ ↗
← N 77.544466°
E132.506104°		 ← 263.47 m → N 77.544466°
E132.517090°		 →
↑
263.50 m
↓
↑
263.50 m
↓
N 77.542096°
E132.506104°		 ← 263.52 m →
69 432 m²		 N 77.542096°
E132.517090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28445 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.868087768554688 y=0.147445678710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.868087768554688 × 215)
    floor (0.868087768554688 × 32768)
    floor (28445.5)     		tx = 28445
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147445678710938 × 215)
    floor (0.147445678710938 × 32768)
    floor (4831.5)     		ty = 4831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28445 / 4831 ti = "15/28445/4831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28445/4831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28445 ÷ 215
    28445 ÷ 32768     		x = 0.868072509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4831 ÷ 215
    4831 ÷ 32768     		y = 0.147430419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.868072509765625 × 2 - 1) × π
    0.73614501953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.31266779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147430419921875 × 2 - 1) × π
    0.70513916015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.21526000524204
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31266779} λ = 2.31266779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21526000524204))-π/2
    2×atan(9.16379143569721)-π/2
    2×1.4621012852733-π/2
    2.92420257054661-1.57079632675     		φ = 1.35340624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31266779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.506104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35340624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.544466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28445 KachelY 4831 2.31266779 1.35340624 132.506104 77.544466
    Oben rechts KachelX + 1 28446 KachelY 4831 2.31285953 1.35340624 132.517090 77.544466
    Unten links KachelX 28445 KachelY + 1 4832 2.31266779 1.35336488 132.506104 77.542096
    Unten rechts KachelX + 1 28446 KachelY + 1 4832 2.31285953 1.35336488 132.517090 77.542096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35340624-1.35336488) × R
    4.13599999999903e-05 × 6371000     		dl = 263.504559999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35340624-1.35336488) × R
    4.13599999999903e-05 × 6371000     		dr = 263.504559999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31266779-2.31285953) × cos(1.35340624) × R
    0.000191739999999996 × 0.215681875081436 × 6371000     		do = 263.471703020813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31266779-2.31285953) × cos(1.35336488) × R
    0.000191739999999996 × 0.215722261434972 × 6371000     		du = 263.521038002441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35340624)-sin(1.35336488))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215681875081436-0.215722261434972)×R²
    abs(2.31285953-2.31266779)×4.03863535355098e-05×R²
    0.000191739999999996×4.03863535355098e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.03863535355098e-05×40589641000000     		ar = 69432.4951836638m²